1ʳᵉ Année Collège · Chapitre 8

Prisme Droit & Cylindre de Révolution

Définitions, patrons, aire latérale et volume du prisme droit et du cylindre de révolution, avec 10 exercices corrigés en détail.

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01 · Définition et patron

Prisme droit

Définition, éléments et patron d'un prisme droit.

Définition

Un prisme droit est un solide qui possède :

• Deux bases qui sont des polygones parallèles et superposables.
• Des faces latérales rectangulaires perpendiculaires aux bases.

La hauteur d'un prisme droit est la longueur d'un côté commun à deux faces latérales.

Prisme droit à base triangulaire

Bases : deux triangles superposables · 3 faces latérales rectangulaires.

Prisme droit à base pentagonale

Bases : deux pentagones superposables · 5 faces latérales rectangulaires.

Patron d'un prisme droit

Le patron d'un prisme droit est formé de ses deux bases et de ses faces latérales.

Patron d'un prisme droit à base triangulaire

Patron d'un prisme droit à base hexagonale

02 · Deux formules à connaître

Aire latérale et volume du prisme droit

Deux formules essentielles à connaître par cœur.

Aire latérale d'un prisme droit

La surface latérale d'un prisme droit correspond à l'ensemble des faces latérales. L'aire latérale est égale à l'aire de cette surface latérale.

\text{Aire latérale} = \text{Périmètre d'une base} \times \text{hauteur}

Exemple

$\text{Périmètre d'une base} = 6 + 5 + 2 = 13\text{ cm}$

$\text{Hauteur} = 8\text{ cm}$

$\text{Aire latérale} = 13 \times 8 = \mathbf{104\text{ cm}^2}$

Volume d'un prisme droit

Le volume d'un prisme droit est égal au produit de l'aire d'une base par la hauteur.

\text{Volume} = \text{Aire d'une base} \times \text{hauteur}

Exemple

Les bases du prisme ABCDEF sont les triangles rectangles ABC et DEF.

$\text{Aire(ABC)} = \dfrac{AB \times AC}{2} = \dfrac{3 \times 4}{2} = 6\text{ cm}^2$

La hauteur du prisme est égale à 6 cm.

$V = 6 \times 6 = \mathbf{36\text{ cm}^3}$

03 · Définition et patron

Cylindre de révolution

Définition, éléments et patron d'un cylindre de révolution.

Définition

Un cylindre de révolution est un solide qui possède :

• Deux bases qui sont des disques parallèles et superposables.
• Une surface latérale.

L'axe du cylindre est la droite passant par les centres des deux disques de base. La hauteur du cylindre est la distance séparant les deux centres.

Exemple

Cylindre de révolution d'axe (AB).

Patron d'un cylindre

Formé de ses deux disques de base et d'un rectangle dont les dimensions sont la hauteur du cylindre et le périmètre d'un disque de base.

Rayon 2 cm, hauteur 5 cm $\to$ Périmètre $= 2 \times \pi \times 2 = 4 \times \pi \approx 12{,}56\text{ cm}$ (longueur du rectangle) ; largeur = hauteur = 5 cm.

04 · Les mêmes formules, au disque

Aire latérale et volume du cylindre

Les mêmes formules que pour le prisme, appliquées au disque.

Aire latérale

$\text{Aire latérale} = \text{Périmètre d'une base} \times \text{hauteur}$

Quelle est l'aire latérale d'un cylindre de révolution de rayon 3 cm et de hauteur 4 cm ?

$\text{Périmètre} = 2 \times \pi \times R = 2 \times \pi \times 3 = 6 \times \pi \approx 18{,}8\text{ cm}$

$\text{Hauteur} = 4\text{ cm}$

$\text{Aire latérale} \approx 18{,}8 \times 4 \approx \mathbf{75{,}2\text{ cm}^2}$

Volume

$\text{Volume} = \text{Aire d'une base} \times \text{hauteur}$

Les bases sont des disques de rayon 6 cm. La hauteur du cylindre est égale à 5 cm.

$\text{Aire} = \pi \times R^2 = \pi \times 6^2 = 36 \times \pi \approx 113\text{ cm}^2$

$V \approx 113 \times 5$

$V \approx \mathbf{565\text{ cm}^3}$

À toi de jouer

4 exercices corrigés

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Propriétés d'un prisme

Compléter :

1. Un prisme a …………… sommets.

a. Quel est le nombre de ses arêtes ?

b. Quel est le nombre de ses faces ?

c. Quelle est la nature de ses bases ?

2. Un prisme a …………… arêtes.

a. Quel est le nombre de ses faces ?

b. Quelle est la nature de ses bases ?

c. Quel est le nombre de ses sommets ?

Bases et faces latérales

Nommer les bases et les faces latérales de chaque prisme droit :

Quatre prismes droits numérotés 1 à 4, à identifier

Cylindre de révolution (QCM)

Choisir la bonne réponse, justifier par une figure.

1. Le patron d'un cylindre de révolution est constitué :

D'un disque et d'un rectangle.
De deux disques et d'un rectangle.
De deux disques et d'un carré.

2. Une des dimensions de la surface latérale d'un cylindre est égale :

À l'aire du disque de base.
Au périmètre du disque de base.
Au double de la hauteur.

Patron d'un prisme

Soit le prisme droit suivant :

Prisme droit ABCDEF avec dimensions 2,5 cm, 3 cm, 2 cm et 3,9 cm

Les sommets sont : ………….
Les faces sont : ………………
Les arêtes sont : ………………
Sa hauteur mesure ……….
Les deux bases sont …………
Les faces latérales sont : …………
Tracer un patron de ce prisme droit avec le codage correspondant, colorier ses deux bases.

Reconnaître un prisme droit (faces, sommets, arêtes)

Compléter le tableau suivant sachant que les deux faces grisées sont les bases :

Six solides numérotés de 1 à 6 : prismes triangulaires, pavés, prisme à base losange, prisme hexagonal

Nombre de…	1.	2.	3.	4.	5.	6.
… faces	…	…	…	…	…	…
… faces latérales	…	…	…	…	…	…
… sommets	…	…	…	…	…	…
… arêtes	…	…	…	…	…	…

Nommer les bases et les faces latérales

Nommer les bases et les faces latérales de chaque prisme droit :

Quatre prismes droits numérotés de 1 à 4 avec leurs sommets nommés

	1.	2.	3.	4.
Bases	…	…	…	…
Faces latérales	…	…	…	…

Retrouver faces, sommets et arêtes

Un prisme droit a 5 faces.

a. Nombre de faces latérales ? ……

b. Nature de ses bases ? ……

c. Nombre de sommets ? ……

d. Nombre d'arêtes ? ……

Un prisme droit a 8 sommets.

a. Nombre d'arêtes ? ……

b. Nombre de faces ? ……

c. Nature de ses bases ? ……

Un prisme droit a 15 arêtes.

a. Nombre de faces ? ……

b. Nature de ses bases ? ……

c. Nombre de sommets ? ……

Longueur d'une arête (base équilatérale, faces carrées)

Un prisme droit a pour base un triangle équilatéral et chacune de ses faces latérales est un carré. La longueur totale de ses arêtes est $3{,}60\text{ m}$ . Quelle est la longueur de chaque arête ?

Périmètre de la base (à partir de la longueur totale des arêtes)

Un prisme droit à base triangulaire a une hauteur de $18\text{ cm}$ . La longueur totale de ses arêtes est de $114\text{ cm}$ . Quel est le périmètre de chacune de ses bases ?

Arêtes perpendiculaires et faces parallèles

Prisme droit ABCDEF, base ABC rectangle en B

Quelles sont les arêtes perpendiculaires à la face ABC de ce prisme droit ?……………
Quelles sont les arêtes perpendiculaires à la face BEFC ?……………
Quelle est la face parallèle à la face ABC ? ……………

Prisme droit et cylindre de révolution · Mathématiques, 1ʳᵉ année collège, semestre 2.