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Le parallélogramme LMNK
Dans la figure ci-dessous, le quadrilatère LMNK est un parallélogramme. Donne les longueurs ou les angles demandés, en justifiant à chaque fois par la propriété utilisée :
LM ; MN ; LK̂N ; KL̂M ; KN̂M
1ʳᵉ Année Collège · Chapitre 4
Le Parallélogramme
Un quadrilatère dont les côtés opposés ne se croisent jamais. Quatre propriétés, et leurs réciproques, à connaître par cœur.
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propriétés
exercices
corrigé
01 · La figure de base
Le parallélogramme
Un quadrilatère très particulier, base de toute cette leçon.
1. Définition
Le parallélogramme est un quadrilatère dont les supports des côtés opposés sont parallèles.
2. Exemple
Soit ABCD un parallélogramme : les droites (AB) et (DC) sont parallèles, tout comme les droites (AD) et (BC).
Les droites en gris sont les supports (elles prolongent les côtés à l'infini).
02 · Directe et réciproque
Propriétés
Quatre propriétés du parallélogramme, chacune avec sa réciproque.
1. Propriété des diagonales
Ce que l'on peut dire du point où se croisent les diagonales.
a) Propriété directe
Dans un parallélogramme, les diagonales se coupent en leur milieu, appelé centre du parallélogramme.
Exemple : soit ABCD un parallélogramme de centre O.
b) Propriété réciproque
Si dans un quadrilatère les diagonales se coupent en leur milieu, alors c'est un parallélogramme.
✍️ Application
Soit ABC un triangle. E et F sont les symétriques respectifs des points B et C par rapport à A. 1) Tracer la figure. 2) Montrer que BCEF est un parallélogramme en déterminant son centre.
Solution : E est le symétrique de B par rapport à A, donc A est le milieu de [EB].
F est le symétrique de C par rapport à A, donc A est le milieu de [FC].
D'où : A est le milieu de [EB] et de [FC], qui sont les diagonales de BCEF.
Conclusion : BCEF est un parallélogramme de centre A.
2. Propriété des côtés opposés
Ce que l'on peut dire des longueurs des côtés.
a) Propriété directe
Dans un parallélogramme, les côtés opposés sont isométriques (égaux).
Exemple : soit ABCD un parallélogramme.
On a : AB = DC et AD = BC.
b) Propriété réciproque
Si dans un quadrilatère les côtés opposés sont isométriques (égaux), alors c'est un parallélogramme.
✍️ Application
Soit ABCD un rectangle. 1) Tracer la figure. 2) Montrer que ABCD est un parallélogramme.
Solution : puisque ABCD est un rectangle, alors : AB = DC et AD = BC (propriété du rectangle).
D'où : ABCD est un parallélogramme.
c) Propriété réciproque (particulière)
Si dans un quadrilatère, deux côtés opposés sont isométriques (égaux) et leurs supports sont parallèles, alors c'est un parallélogramme.
✍️ Application
Soit [AB] un segment et C un point n'appartenant pas à la droite (AB). 1) Tracer une droite passant par C et parallèle à (AB), puis choisir un point D sur cette droite tel que CD = AB et ABCD soit un quadrilatère. 2) Montrer que ABCD est un parallélogramme.
Solution : on a (AB) // (CD) par construction.
Et puisque AB = CD (construction), alors : ABCD est un parallélogramme.
3. Propriété des angles opposés
Ce que l'on peut dire des angles opposés deux à deux.
a) Propriété directe
Dans un parallélogramme, les angles opposés sont isométriques (égaux).
Exemple : soit ABCD un parallélogramme.
On a : DÂB = DĈB et AB̂C = AD̂C.
b) Propriété réciproque
Si dans un quadrilatère les angles opposés sont isométriques (égaux), alors c'est un parallélogramme.
4. Propriété des angles consécutifs
Ce que l'on peut dire de deux angles côte à côte.
a) Propriété directe
Dans un parallélogramme, les angles consécutifs sont supplémentaires (la somme de leurs mesures égale 180°).
Exemple : soit ABCD un parallélogramme.
AB̂C + BĈD = 180°
BĈD + CD̂A = 180°
CD̂A + DÂB = 180°
DÂB + AB̂C = 180°
03 · Tout en un coup d'œil
Fiche mémo
Tout le cours résumé, pour réviser vite.
▱
Définition
Quadrilatère dont les supports des côtés opposés sont parallèles.
✕
Diagonales
Directe : elles se coupent en leur milieu (centre).
Réciproque : si elles se coupent en leur milieu ⟹ parallélogramme.
=
Côtés opposés
Directe : isométriques (égaux) deux à deux.
Réciproque : si isométriques ⟹ parallélogramme. Cas particulier : si deux côtés opposés sont isométriques et parallèles ⟹ parallélogramme.
∠
Angles opposés
Directe : isométriques (égaux) deux à deux.
Réciproque : si isométriques ⟹ parallélogramme.
⌒
Angles consécutifs
Directe : supplémentaires, la somme de deux angles consécutifs vaut toujours 180°.
À toi de jouer
7 exercices corrigés
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0 / 7 vérifiés
2
Triangle ABC, milieux I et J
ABC est un triangle quelconque. I est le milieu du segment [AB], J est le milieu du segment [AC].
- Reproduire cette figure puis tracer le point K, symétrique du point I par rapport au point J. Coder la figure.
- On veut démontrer que le quadrilatère AKCI est un parallélogramme. Recopier et compléter :
J est le milieu de …………………
K est le symétrique du point I par rapport au point J, donc J est le milieu de ……………
Or si un quadrilatère a …………………………………………………, alors c'est un parallélogramme.
Donc ……………………………………… et son centre est ………………………
Figure de départ
3
ABCD et DBEC, deux parallélogrammes
ABCD et DBEC sont des parallélogrammes. Montrer que le point B est le milieu de [AE].
4
Calculer les angles de ABCD
Calculer la mesure de chaque angle du parallélogramme ABCD. Justifier.
5
Construction et symétrique de A
- Construire un triangle ABC tel que : AB = 5 cm ; mes  = 30° et mes B̂ = 50°.
- a) Placer le point I milieu du segment [BC]. b) Placer le point K symétrique de A par rapport au point I.
- Quelle est la nature du quadrilatère ABKC ? Justifier la réponse.
- Calculer : mes BK̂C ; mes AB̂K et mes CB̂K.
6
Parallélogramme ABCD, symétriques E et F
- Construis le parallélogramme ABCD de centre O tel que : AB = 8 cm, BÂC = 40° et AB̂D = 30°.
- Place le point I milieu de [AB] et le point J milieu de [BC].
- Construis E symétrique de D par rapport à I et le point F symétrique de D par rapport à J.
- Quelle est la nature des quadrilatères AEBD et DBFC ? Justifie ta réponse.
- Les points A, B et F sont-ils alignés ? Justifie ta réponse.
7
ABCD et BEFC, deux parallélogrammes
On considère la figure ci-dessous où ABCD et BEFC sont des parallélogrammes.
- Donne, en justifiant, deux droites parallèles à la droite (BC).
- Démontre que AEFD est un parallélogramme.
- Démontre que les segments [AF] et [ED] se coupent en leur milieu.
Le parallélogramme · Mathématiques, 1ʳᵉ année collège, semestre 2.