1ʳᵉ Année Collège · Chapitre 2

Les Équations

Du premier degré à une inconnue. Trouver la valeur de x qui rend une égalité vraie, avec une méthode qui marche à tous les coups.

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exercices & problèmes

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corrigé

01 · Vocabulaire

Définition & vocabulaire

L'équation du premier degré à une inconnue.

Définition

Soient a, b et x des nombres relatifs. Toute égalité de la forme x+a=bx + a = b ou a×x=ba \times x = b (avec a≠0a \neq 0) est appelée équation du premier degré à une inconnue x.

Vocabulaire

Résoudre une équation du premier degré à une inconnue x, c'est trouver la valeur de l'inconnue x, qui s'appelle la solution de l'équation.

Exemples d'équations

x+1,5=3,5x + 1{,}5 = 3{,}5
−x−7=−4-x - 7 = -4
x−2,5=12x - 2{,}5 = 12
−x+2=0-x + 2 = 0
3x=153x = 15
−2x=−11-2x = -11
−7x=21-7x = 21
2,5x=02{,}5x = 0

02 · Les deux formes de base

Résoudre une équation

x + a = b et a × x = b : deux formes, deux règles simples.

a) Résolution de l'équation x+a=bx + a = b

Pour résoudre l'équation x + a = b, on ajoute à b l'opposé de a. On écrit : x=b−ax = b - a.
1

2,5+x=52{,}5 + x = 5

x=5−2,5x = 5 - 2{,}5

x=2,5x = 2{,}5

2

x−11=−2x - 11 = -2

x=−2+11x = -2 + 11

x=9x = 9

3

7−x=14,67 - x = 14{,}6

−x=14,6−7=7,6-x = 14{,}6 - 7 = 7{,}6

x=−7,6x = -7{,}6

4

−x−9=−12-x - 9 = -12

−x=−12+9=−3-x = -12 + 9 = -3

x=3x = 3

5

x+5=0x + 5 = 0

x=0−5x = 0 - 5

x=−5x = -5

6

−11−x=0-11 - x = 0

−x=0+11=11-x = 0 + 11 = 11

x=−11x = -11

b) Résolution de l'équation a×x=ba \times x = b (a ≠ 0)

Pour résoudre l'équation ax = b (a ≠ 0), on divise b par a. On écrit : x=bax = \dfrac{b}{a}.
1

2x=42x = 4

x=4÷2x = 4 \div 2

x=2x = 2

2

−5x=12-5x = 12

x=12÷(−5)x = 12 \div (-5)

x=−2,4x = -2{,}4

3

−6x=−9-6x = -9

x=−9÷(−6)x = -9 \div (-6)

x=1,5x = 1{,}5

03 · Transformer une équation

Méthodes et techniques

Deux propriétés pour transformer une équation en une équation équivalente.

a) Propriété 1

Si on ajoute ou on retranche le même nombre aux deux membres d'une équation, on obtient une nouvelle équation équivalente.
1

2x+1=x−62x + 1 = x - 6

2x−x=−6−12x - x = -6 - 1

x=−7x = -7

2

5x−5=2x−205x - 5 = 2x - 20

5x−2x=−20+55x - 2x = -20 + 5

3x=−153x = -15

x=−5x = -5

3

2(2x+1)=5(x−5)2(2x + 1) = 5(x - 5)

4x+2=5x−254x + 2 = 5x - 25

4x−5x=−25−24x - 5x = -25 - 2

−x=−27-x = -27

x=27x = 27

4

2x−3(x−4)+5(x+3)=02x - 3(x - 4) + 5(x + 3) = 0

2x−3x+12+5x+15=02x - 3x + 12 + 5x + 15 = 0

2x−3x+5x=−12−152x - 3x + 5x = -12 - 15

4x=−274x = -27

x=−6,75x = -6{,}75

b) Propriété 2

Si on multiplie ou on divise les deux membres d'une équation par le même nombre relatif non nul, on obtient une nouvelle équation équivalente.
1

2x+13=x−5\dfrac{2x+1}{3} = x - 5

3×2x+13=3×(x−5)3\times\dfrac{2x+1}{3} = 3\times(x-5)

2x+1=3x−152x + 1 = 3x - 15

2x−3x=−15−12x - 3x = -15 - 1

x=16x = 16

2

2x−12=x+13\dfrac{2x-1}{2} = \dfrac{x+1}{3}

3(2x−1)=2(x+1)3(2x-1) = 2(x+1)

6x−3=2x+26x - 3 = 2x + 2

6x−2x=2+36x - 2x = 2 + 3

x=54=1,25x = \dfrac{5}{4} = 1{,}25

3

x+12+x=3x−14\dfrac{x+1}{2} + x = \dfrac{3x-1}{4}

2(x+1)+4x=3x−12(x+1) + 4x = 3x - 1

2x+2+4x=3x−12x + 2 + 4x = 3x - 1

2x+4x−3x=−1−22x + 4x - 3x = -1 - 2

x=−1x = -1

04 · La méthode en 4 étapes

Résolution de problèmes

Toujours la même méthode, appliquée à deux exemples.

Règle : pour résoudre un problème, on suit les étapes suivantes

1

Choix de l'inconnue

2

Mise en équation

3

Résolution & vérification

4

Retour au problème

✍️ Exemple 1

Saïd a deux ans de plus que sa sœur Amal. Après 5 ans, la somme de leurs âges sera 40 ans. Quel est l'âge de chacun d'entre eux maintenant ?

1) Choix de l'inconnue : Soit x l'âge d'Amal maintenant.
2) Mise en équation : L'âge de Saïd est (x+2). Après 5 ans, Amal aura (x+5) et Saïd aura ((x+2)+5). Donc : (x+5)+((x+2)+5)=40(x+5) + ((x+2)+5) = 40

3) Résolution :

x+5+x+2+5=40x + 5 + x + 2 + 5 = 40

2x=40−5−2−52x = 40 - 5 - 2 - 5

2x=28  ⟹  x=142x = 28 \implies x = 14

4) Retour au problème : Amal a 14 ans et Saïd a 16 ans.

✍️ Exemple 2

Dans une classe de 1AC, le nombre d'élèves est 32 (filles et garçons). Quel est le nombre de filles et le nombre de garçons, sachant que les garçons représentent un tiers des filles ?

1) Choix de l'inconnue : Soit x le nombre de filles.
2) Mise en équation : Le nombre de garçons est 13x\dfrac{1}{3}x. Comme il y a 32 élèves : x+13x=32x + \dfrac{1}{3}x = 32

3) Résolution :

3x3+x3=963\dfrac{3x}{3} + \dfrac{x}{3} = \dfrac{96}{3}

3x+x=963x + x = 96

4x=96  ⟹  x=244x = 96 \implies x = 24

4) Retour au problème : Il y a 24 filles et 8 garçons.

À toi de jouer

66 exercices & problèmes corrigés

Trois séries d'équations à résoudre, puis six problèmes avec la méthode en 4 étapes.

0 / 9 vérifiés

1
Résoudre les équations : x + a = b et ax = b
20 équations
1−5x=−20-5x = -20
2−4x=−12-4x = -12
3−2x=18-2x = 18
43x=213x = 21
5x−12=−17x - 12 = -17
63x=−243x = -24
7−3x=21-3x = 21
8−3x=21-3x = 21
9x+7=1x + 7 = 1
10x+2=−3x + 2 = -3
11x−10=0x - 10 = 0
12x+1=−4x + 1 = -4
132x=62x = 6
14x−15=−16x - 15 = -16
15−3x=24-3x = 24
16x−9=−13x - 9 = -13
17x−15=−25x - 15 = -25
18x+14=11x + 14 = 11
192x=42x = 4
20x+16=13x + 16 = 13
2
Résoudre les équations avec parenthèses
20 équations
14(x−6)=84(x - 6) = 8
24(x−7)=84(x - 7) = 8
3−(x−5)=13-(x - 5) = 13
44(x+3)=−164(x + 3) = -16
5−3x−5=16-3x - 5 = 16
65(x+6)=555(x + 6) = 55
7−2x+8=8-2x + 8 = 8
8−x+8=−1-x + 8 = -1
93x−9=153x - 9 = 15
10−2x+3=−15-2x + 3 = -15
113(x−7)=−33(x - 7) = -3
123(x−1)=183(x - 1) = 18
13−4(x−6)=52-4(x - 6) = 52
14−2x+7=11-2x + 7 = 11
153(x−10)=−123(x - 10) = -12
164(x+2)=404(x + 2) = 40
174(x+5)=564(x + 5) = 56
18−4(x+3)=20-4(x + 3) = 20
195(x+5)=705(x + 5) = 70
204x+1=−354x + 1 = -35
3
Résoudre les équations : x des deux côtés
20 équations
1−(x−5)=−5x−19-(x - 5) = -5x - 19
2−5x+8=x+38-5x + 8 = x + 38
3−2(x−4)=−3x-2(x - 4) = -3x
4−2x−10=5x+18-2x - 10 = 5x + 18
5−2(x−9)=−5x+21-2(x - 9) = -5x + 21
64x−10=−x−404x - 10 = -x - 40
73(x+1)=2x+113(x + 1) = 2x + 11
84(x−7)=−4x+284(x - 7) = -4x + 28
9−4(x−5)=−3x+23-4(x - 5) = -3x + 23
103(x+7)=−2x+613(x + 7) = -2x + 61
112x−6=−2x−182x - 6 = -2x - 18
12−2x−6=−4x−12-2x - 6 = -4x - 12
132x−3=x+32x - 3 = x + 3
14−x+2=3x+22-x + 2 = 3x + 22
153(x−9)=5x−273(x - 9) = 5x - 27
164x−3=x−334x - 3 = x - 33
17−4(x−10)=3x+40-4(x - 10) = 3x + 40
18−4x−6=−2x−16-4x - 6 = -2x - 16
193(x−9)=−4x−63(x - 9) = -4x - 6
20−4(x−9)=−3x+30-4(x - 9) = -3x + 30
4
Problème · Le prix d'un livre

Ahmed achète 3 livres et Karim en achète 4. Ensemble, ils ont dépensé 70 dh. Quel est le prix d'un livre ?

5
Problème · Même périmètre

On considère les deux figures suivantes. Déterminer la valeur de x afin que le triangle ABC et le rectangle GDEF (GF et DE horizontaux) aient le même périmètre.

ACB4x+13x-2GFDE2x-13x-5
6
Problème · Trois nombres consécutifs

Déterminer trois nombres consécutifs entiers naturels dont la somme est 309.

7
Problème · Les âges

Safaa a 11 ans et son frère a 26 ans. Dans combien d'années l'âge du frère sera-t-il le double de celui de Safaa ?

8
Problème · La salle d'étude

Dans une salle d'étude, la moitié des élèves font des mathématiques, le quart étudie l'histoire, le septième l'anglais, et trois élèves font du dessin. Trouver le nombre d'élèves dans cette salle.

9
Problème · Les bonbons

J'ai 36 bonbons. 7/12 d'entre eux sont à la fraise, et les 2/3 des bonbons restants sont au caramel.

  1. Combien y a-t-il de bonbons à la fraise ? Combien en reste-t-il ?
  2. Combien y en a-t-il au caramel ?

Les équations · Mathématiques, 1ʳᵉ année collège, semestre 2.