1ʳᵉ Année Collège · Chapitre 1

Développement et Factorisation

Transformer un produit en somme, ou une somme en produit. Deux mouvements inverses, une seule logique à comprendre.

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notions clés

exercices

100%

corrigé

k(a+b)⇅ka+kb

01 · Transformer un produit

Développement

Écrire un produit sous forme de somme ou de différence.

Définition

Le développement, c'est l'écriture d'un produit en une somme ou en une différence.

Propriétés

a) Produit d'un nombre par une somme

Soient a, b et k des nombres relatifs.

$k\times(a+b) = k\times a + k\times b$

$(a+b)\times k = k\times a + k\times b$

Exemples, développons puis calculons :

$2\times(1+5) = 2\times 1 + 2\times 5$

$= 2+10$

$= 12$

$(-10+3)\times(-1{,}5) = -1{,}5\times(-10) + (-1{,}5)\times 3$

$= 15 + (-4{,}5) = 15 - 4{,}5$

$= 10{,}5$

b) Produit d'un nombre par une différence

Soient a, b et k des nombres relatifs.

$k\times(a-b) = k\times a - k\times b$

$(a-b)\times k = k\times a - k\times b$

Exemples, développons puis calculons :

$1{,}2\times(10-2) = 1{,}2\times 10 - 1{,}2\times 2$

$= 12 - 2{,}4$

$= 9{,}6$

$(-8-5)\times(-4) = -4\times(-8) - (-4)\times 5$

$= 32 - (-20) = 32+20$

$= 52$

c) Produit de deux sommes / deux différences

Soient a, b, c et d des nombres relatifs.

$(a+b)\times(c+d) = ac+ad+bc+bd$

$(a-b)\times(c-d) = ac-ad-bc+bd$

Exemples, développons puis calculons :

$(2{,}5+10)(5+1) = 2{,}5\times 5+2{,}5\times 1+10\times 5+10\times 1$

$= 12{,}5+2{,}5+50+10$

$= 75$

$(4-12)(15-6) = 4\times 15-4\times 6-12\times 15+12\times 6$

$= 60-24-180+72 = 60+72-24-180$

$= -72$

Développement et calcul littéral

$A = 2x(x+1)$

$= 2x^{2}+2x$

$B = -3x(-x+1) + x(2x+4)$

$= 3x^{2}-3x+2x^{2}+4x$

$= 5x^{2}+x$

$C = (2x-1)(-3x-2)$

$= 6x^{2}-4x+3x+2$

$= 6x^{2}-x+2$

$D = 2x(-x^{2}+3x-1) + 2x^{2}(5x-2)$

$= -2x^{3}+6x^{2}-2x+10x^{3}-4x^{2}$

$= 8x^{3}+2x^{2}-2x$

Cas particuliers : les identités remarquables

Trois développements à connaître par cœur.

(a+b)^{2} = a^{2}+2ab+b^{2}

$(2x+1)^{2} = (2x+1)(2x+1)$

$= 4x^{2}+2x+2x+1$

$= 4x^{2}+4x+1$

(a-b)^{2} = a^{2}-2ab+b^{2}

$(3x-2)^{2} = (3x-2)(3x-2)$

$= 9x^{2}-6x-6x+4$

$= 9x^{2}-12x+4$

(a+b)(a-b) = a^{2}-b^{2}

$(4x-5)(4x+5)$

$= 16x^{2}+20x-20x-25$

$= 16x^{2}-25$

02 · Transformer une somme

Factorisation

Écrire une somme ou une différence sous forme de produit.

Définition

La factorisation, c'est l'écriture d'une somme ou d'une différence en un produit.

Propriétés

Soient a, b et k des nombres relatifs. k est appelé facteur commun.

$k\times a + k\times b = k\times(a+b)$

$k\times a - k\times b = k\times(a-b)$

Remarque

Pour factoriser, on cherche d'abord le facteur commun.

Exemples, factorisons puis calculons :

$a = 2\times 7 + 2\times 11 = 2(7+11)$

$= 2\times 18$

$= 36$

$b = -5\times(-10) - (-5)\times 22 = -5(-10-22)$

$= -5\times(-32)$

$= 160$

Factorisation et calcul littéral

$A = 3a^{3}b^{4} + 7a^{2}b^{7}c$

$= a^{2}b^{4}(3a+7b^{3}c)$

$B = 12a^{5}b^{4}c^{2}+6a^{2}b^{2}c^{2}-18a^{4}b^{3}c^{4}$

$= 6a^{2}b^{2}c^{2}(2a^{3}b^{2}+1-3a^{2}bc^{2})$

$C = 6x^{4} + 4x^{2} - 2x$

$= 2x(3x^{3} + 2x - 1)$

$D = 2x(x+1) + 3(x+1)$

$= (x+1)(2x+3)$

$E = (2x+3)^{2} + 3x(2x+3) - (2x+3)$

$= (2x+3)(2x+3) + 3x(2x+3) - (2x+3)$

$= (2x+3)(2x+3+3x-1)$

$= (2x+3)(5x+2)$

À toi de jouer

13 exercices corrigés

Calcul littéral : réduire, développer, factoriser. Cherche sur ton cahier, puis clique pour vérifier.

0 / 13 vérifiés

Réduire les expressions suivantes

6 expressions

4x^{2}-5x+9-3x-7x^{2}-2

-3+4x-9x^{2}+5x-2x^{2}+6

13x-x^{2}+12-7x+3x^{2}-4

3x-4-7x-2+4x-6

2x^{2}-x+4-x^{2}+4x-5

-3+2x+x^{2}-5x+4x^{2}-1

Supprimer les parenthèses, puis réduire

7 expressions

50-(x+20)

-(10+x)+(x+5)

(x^{2}-4x)-(5x^{2}+2x-1)

-(3-x+x^{2})+(-2x+3x^{2}-8)

x-4-(2+x)+(x+5)

-(x-8)+(x-6)-(7-x)

(x^{2}+5x-4)-(-2x^{2}+9x-7)

Développer puis réduire

8 expressions

-3x(2-x)

5x(-7-2x)

-5(-7-2x)

-x(-3x+4)

8x+(7-6x)

-8(3x-4)

9x(-2x+3)

2x-(-4x+7)

Développer puis réduire

9 expressions

8-4(x-3)

2(3-4x)+4(1-2x)

-2(3x+1)-3(x+3)

5(6x-1)-(3+8x)

2x(x+4)+x(1-x)

-x(2-x)+(x^{2}-2x)-(3x^{2}-4)

3x^{2}-(x^{2}-4x+5)-4x(x-3)

(2x^{2}-7x+4)-4x(-3+2x)

5x(-3x-6)-(-15x^{2}+18x-6)

Développer puis réduire

7 expressions

(-3x+5)(2x-3)

(2x-1)(2x+1)

(-2+x)(x+4)

(4-3x)(x-6)

(-5x-2)(3x+2)

(-3-x)(2x-7)

(3x-5)^{2}

Développer puis réduire

8 expressions

4x^{2}+2x-(3x+4x^{2}-9)+8

8x-5x(2-x)

-3(2x-5)-(-2x+7)

(-4x-1)(x-9)

(3x^{2}-4x+9)-(4x^{2}-x+1)

3(7x^{2}-1)-4x(3-5x)

(3-x)(4x-8)

7x^{2}-4+(3x^{2}-5x)-2(x+3)

Deux programmes de calcul

Programme 1

Choisir un nombre
Multiplier par 3
Soustraire 2 au résultat
Multiplier le tout par le nombre choisi au départ

Programme 2

Choisir un nombre
Calculer son carré
Multiplier le résultat par 3
Soustraire le double du nombre choisi au début

Appliquer les programmes de calcul au nombre 5. Que constate-t-on ?
Prouver que les deux programmes de calcul donnent le même résultat pour n'importe quel nombre choisi au départ.

Deux programmes de calcul

Programme 1

Choisir un nombre
Calculer la somme de son carré, de son double et de 1
Annoncer le résultat

Programme 2

Choisir un nombre
Lui ajouter 1
Puis calculer le carré du résultat obtenu
Annoncer le résultat

Appliquer les programmes de calcul au nombre 3. Que constate-t-on ?
Prouver que cela est vrai quelle que soit la valeur choisie.

Aires de quatre rectangles

Calculer l'aire des quatre rectangles ci-dessous en fonction de x.

6x

120-6x

2x

40-2x

①

②

④

③

Rectangle total : 120 × 40

La piscine

Une piscine rectangulaire ABCD de 10 m sur 7 m a une bordure de largeur x mètres.

ABDC

EFHGBassin

ABCD : 10 m × 7 m, bordure de largeur x, EFGH : le bassin

Exprimer, en fonction de x, l'aire du bassin EFGH.
Calculer l'aire du bassin quand la bordure a une largeur de 0,75 mètres.

Démontrer une égalité

$A = (3x+4)(5x-2) - (20x-12)$

$B = 4 - 3x(2-5x)$

Démontrer que $A = B$ .

Deux rectangles, même aire

Prouver que, quelle que soit la valeur de x, les deux rectangles ABCD et EFGH ont la même aire.

$6x+4$

$4x+2$

ABCD

$8x+4$

$3x+2$

EFGH

Deux programmes de calcul

Programme 1

Choisir un nombre
Additionner son carré, son quadruple et 4
Annoncer le résultat

Programme 2

Choisir un nombre
Lui ajouter 2
Puis calculer le carré du résultat obtenu
Annoncer le résultat

Si le nombre choisi est 8, quel est le résultat de chacun des calculs ? Que constate-t-on ?
Démontrer que la remarque ci-dessus est vraie quelle que soit la valeur choisie.

Développement et factorisation · Mathématiques, 1ʳᵉ année collège, semestre 2.