Le cercle, ses cordes, son diamètre, la propriété d'appartenance et la tangente en un point, avec 17 exercices corrigés en détail.
notions clés
exercices
corrigés
01 · Définitions
Définition
Le cercle (C) de centre O et de rayon r est l'ensemble des points du plan situés à la distance r du point O, noté : .
Exemple
Soit un cercle : l'ensemble des points situés à 3 cm du point O.
On considère la figure suivante telle que un cercle.
Remarques
02 · Le lien entre point et rayon
Propriété
Soient un cercle et A un point.
Si , alors .
Si , alors .
Autrement dit : un point appartient au cercle si et seulement si sa distance au centre est égale au rayon.
Application 1
Soit un cercle. On considère le point E tel que . Calculer OE.
Solution : on a (C) un cercle de centre O et de rayon 2,5 cm.
Et puisque , alors : .
Application 2
Soit un cercle. On considère le point E tel que . Montrer que .
Solution : on a (C) un cercle de centre O et de rayon 6 cm.
Et puisque , alors : .
03 · Une droite, un seul point
Exemple
un cercle, A un point du cercle (C) et (D) la droite perpendiculaire à la droite (OA) en A.
La droite (D) est appelée : tangente au cercle (C) en A.
Définition
La tangente à un cercle (C) de centre O en un point A du cercle, est la droite perpendiculaire à la droite (OA) en A.
Soient un cercle, E un point et (Δ) une droite.
04 · Fiche mémo
= ensemble des points du plan situés à la distance r du point O.
Corde : segment joignant 2 points du cercle. Diamètre : corde qui passe par O (= 2r). Arc : portion du cercle entre deux points.
(le point est sur le cercle si et seulement si sa distance au centre vaut le rayon).
Droite qui touche le cercle en un seul point A, perpendiculaire à (OA) en A.
Tout diamètre est une corde, mais toute corde n'est pas un diamètre. Le rayon relie toujours le centre à un point du cercle.
À toi de jouer
0 / 17 vérifiés
Cercle
Sur la figure ci-dessus : A, B et C sont sur le cercle de centre O ; A, O et B sont alignés.
a. Écris deux phrases décrivant la figure, en utilisant les mots « rayon » et « diamètre ».
b. Recopie et complète les phrases suivantes.
Trace un cercle de centre O et de rayon 4 cm puis un cercle de rayon 4 cm et passant par O.
a. Trace un segment [AB] de longueur 5 cm.
b. Trace le cercle de diamètre [AB].
c. Quelle est la mesure du rayon de ce cercle ?
a. Trace un cercle (C) de centre O et de rayon 4,5 cm.
b. Place un point A sur le cercle (C) et place le point B diamétralement opposé au point A.
c. Marque un point D à l'extérieur du cercle (C) et trace le cercle de diamètre [BD].
a. Trace un cercle de centre O et de diamètre 8,4 cm.
b. Place deux points A et B sur ce cercle tels que AB = 5 cm.
c. Trace une corde [CD] telle que CD = 3,8 cm.
a. Trace un cercle de centre O et de rayon 35 mm.
b. Trace un rayon [OA] de ce cercle.
c. Place les points M et N sur ce cercle tels que AM = AN = 24 mm.
d. En utilisant uniquement les points nommés de la figure, trace en rouge trois cordes de ce cercle et nomme-les.
a. Trace un segment [AB] de longueur 6 cm. Trace le cercle de centre A et de rayon 2 cm. Ce cercle coupe la droite (AB) en deux points M et N. On appelle M celui qui appartient au segment [AB].
b. Calcule les longueurs BM et BN.
Deux cercles concentriques (c'est-à-dire de même centre) (C) et (C') ont pour centre O et pour rayons respectifs 3 cm et 5 cm. [GH] est un diamètre du cercle (C). La droite passant par G et par H coupe le cercle (C') en deux points I et J ; on appelle I celui qui est le plus près de G.
a. Fais une figure.
b. Calcule les longueurs GI et JG.
a. Trace un segment [ST] de longueur 6 cm. Sur ce segment, marque le point U tel que SU = 3,2 cm. Trace le cercle (C) de centre T et qui passe par U.
b. Calcule le diamètre du cercle (C).
c. Sur le segment [UT], place le point V tel que UV = 1,2 cm. Quel est le rayon du cercle de diamètre [SV] ?
Reproductions de figures
Reproduis la figure ci-dessous en vraie grandeur (deux cercles sécants alignés sur un même axe, mesures 6 cm et 2 cm).
6 cm puis 2 cm le long de l'axe
a. Grand cercle contenant 3 cercles tangents entre eux et tangents au grand cercle, alignés sur un même diamètre (les deux petits cercles ont un diamètre de 2 cm).
b. Forme obtenue à partir d'arcs de cercle, avec un segment de référence de 3,2 cm.
c. Rectangle de 10 cm sur 3 cm avec un quart de cercle évidé à chaque coin.
En utilisant le quadrillage de ton cahier, reproduis les figures suivantes : a. une rosace de cercles imbriqués, b. un parapluie fait de demi-cercles.
Programme de construction
Recopie et complète le programme de construction de la figure ci-dessus.
Pour chaque étape de la bande dessinée (4 vignettes montrant progressivement un segment [CD], puis un point E, puis un point A sur [CD], puis le segment [AE]), écris la consigne qui a été donnée. (On ne tient pas compte des mesures.)
a. Trace un segment [AB] de longueur 6 cm.
b. Marque le point O, milieu du segment [AB].
c. Trace le cercle de centre O et de rayon 3 cm.
d. Trace les cercles de diamètres [AO] et [OB].
a. Trace un segment [AB] de longueur 9 cm.
b. Trace le cercle de centre A et de rayon 3 cm. On appelle C le point d'intersection de ce cercle et du segment [AB].
c. Trace le cercle de centre B et de rayon 3 cm. Il coupe le segment [AB] en D.
d. Trace un demi-cercle de diamètre [CD].
Écris un programme de construction pour chacune des figures suivantes.
a. Deux cercles sécants : un grand cercle de centre O et de rayon 5,2 cm, et un petit cercle de centre T, se coupant en un point R situé sur la droite (TO).
b. Un cercle de centre O et de rayon 3 cm, un diamètre [AA'], un point B sur le cercle, et un point C tel que B soit le milieu de [AC] avec AB = BC = 5 cm.
Cercle et droite · Mathématiques, 1ʳᵉ année collège, semestre 2.