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Réciproque
Soit la figure ci-dessous, où (AO) est une sécante commune à (d₁) et (d₂) :
(BA) ⊥ (AO) en A ; l'angle AÔC est partagé en deux angles adjacents de 60° et 30°.
Montrer que (d₁) ∥ (d₂).
1ʳᵉ Année Collège · Chapitre 6
Angles Alternes-Internes & Correspondants
Deux droites coupées par une sécante : reconnaître les angles en Z et en F, et utiliser leurs propriétés directes et réciproques.
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types d'angles
exercices
corrigés
01 · La configuration en Z
Angles alternes-internes
Deux droites, une sécante : la configuration en « Z ».
Exemple
On considère deux droites distinctes (D) et (D'), coupées par une sécante (Δ) aux points A et B.
Les angles EÂB et AB̂H sont des angles alternes-internes (zone teintée).
De même, AB̂G et FÂB forment un second couple d'angles alternes-internes.
Ils sont « internes » (entre les deux droites) et « alternes » (de part et d'autre de la sécante), repérables par la forme d'un Z.
Propriétés
a) Propriété directe
Si deux droites sont parallèles, alors elles déterminent avec toute sécante des angles alternes-internes isométriques (égaux).
Application
ABC est un triangle équilatéral et (EC) ∥ (AB), avec E un point tel que C soit entre B et E sur cette parallèle.
Calculons .
Solution
On considère les parallèles (AB) et (EC), et la sécante (AC).
On a : et sont deux angles alternes-internes, donc .
Or ABC est équilatéral, donc .
D'où : .
b) Propriété réciproque
Si deux droites déterminent avec une sécante deux angles alternes-internes isométriques (égaux), alors elles sont parallèles.
Application
On considère la figure ci-contre telle que : et .
Montrons que (AB) ∥ (CD).
Solution
On considère les droites (AB) et (CD), et la sécante (BC).
On a : et sont deux angles alternes-internes.
Or et , donc .
D'après la propriété réciproque des angles alternes-internes : (AB) ∥ (CD).
02 · La configuration en F
Angles correspondants
Deux droites, une sécante : la configuration en « F ».
Exemple
On reprend (D) et (D'), coupées par la sécante (Δ) aux points A et B, prolongée jusqu'aux points M et N.
Les angles EÂB et GB̂N sont des angles correspondants (zone teintée).
De même : MÂF et AB̂H ; ainsi que FÂB et HB̂N ; et MÂE et AB̂G.
Ils occupent la même position à chacun des deux points d'intersection, repérables par la forme d'un F.
Propriétés
a) Propriété directe
Si deux droites sont parallèles, alors elles déterminent avec toute sécante des angles correspondants isométriques (égaux).
Application
ABC est un triangle rectangle en A, et (EF) ∥ (AB) avec E sur [CA] et F sur [CB].
Montrons que le triangle CEF est rectangle en E.
Solution
On considère les parallèles (AB) et (EF), et la sécante (AC).
On a : et sont deux angles correspondants, donc .
Or est un angle droit (ABC rectangle en A), donc est aussi un angle droit.
D'où : le triangle CEF est rectangle en E.
b) Propriété réciproque
Si deux droites déterminent avec une sécante deux angles correspondants isométriques (égaux), alors elles sont parallèles.
Application
On considère la figure ci-contre telle que : et .
Montrons que (EF) ∥ (BC).
Solution
On considère les droites (EF) et (BC), et la sécante (AB).
On a : et sont deux angles correspondants.
Or et , donc .
D'après la propriété réciproque des angles correspondants : (EF) ∥ (BC).
03 · Fiche mémo
Fiche mémo
Les deux couples d'angles en un coup d'œil, pour réviser vite.
Z
Alternes-internes
Position : entre les deux droites, de part et d'autre de la sécante.
Directe : droites ∥ ⟹ angles égaux.
Réciproque : angles égaux ⟹ droites ∥.
F
Correspondants
Position : même position relative aux deux points d'intersection.
Directe : droites ∥ ⟹ angles égaux.
Réciproque : angles égaux ⟹ droites ∥.
💡
Méthode pour une démonstration
- Pour prouver deux angles égaux : nommer les deux droites et la sécante, identifier le type d'angles (alternes-internes ou correspondants), citer la propriété directe en précisant que les droites sont parallèles.
- Pour prouver deux droites parallèles : nommer les deux droites et la sécante, montrer que les deux angles (alternes-internes ou correspondants) sont égaux, puis citer la propriété réciproque.
À toi de jouer
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2
Directe
Les droites (AB) et (CD) sont parallèles. Le point M appartient à la demi-droite [CD) hors du segment [CD] (voir figure).
Montrer que .
3
Directe
ABC est un triangle équilatéral et (AF) est une droite passant par A et parallèle à (BC). E est un point de la demi-droite [BA) hors du segment [AB].
Calculer la mesure de l'angle .
4
Réciproque
ABC est un triangle isocèle en A tel que . [AE) est une demi-droite telle que les angles CÂB et BÂE soient adjacents, avec .
Montrer que (AE) ∥ (BC).
5
Grand classique
ABC est un triangle et (D) est une droite passant par A et parallèle à (BC), avec F et E deux points de (D) de part et d'autre de A.
- Montrer que .
- Montrer que .
- Déduire que .
- Cela vous rappelle quelle propriété ?
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Directe
Soit la figure ci-dessous, avec les informations codées : (AB) ∥ (ED).
C est le point d'intersection de (AE) et (BD) ; ; angle droit en A et en E.
Déterminer la mesure de l'angle .
Angles alternes-internes et correspondants · Mathématiques, 1ʳᵉ année collège, semestre 2.