1ʳᵉ Année Collège · Chapitre 8

Les Puissances

Multiplier un nombre plusieurs fois par lui-même, en une seule petite écriture. Ça va très vite à comprendre.

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exercices

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questions

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corrigé

01 · La définition

C'est quoi, une puissance ?

Une façon rapide d'écrire « je multiplie aa par lui-même, nn fois ».
an=a×a×a×⋯×aa^n = a \times a \times a \times \cdots \times a
nn facteurs

la base

ana^n · aa est le nombre qu'on multiplie

l'exposant

ana^n · nn dit combien de fois

a0=1a^0 = 1
a1=aa^1 = a
000^0 n'existe pas

exemples

35=3×3×3×3×33^5 = 3 \times 3 \times 3 \times 3 \times 3

1,23=1,2×1,2×1,21{,}2^3 = 1{,}2 \times 1{,}2 \times 1{,}2

(−7)4=(−7)×(−7)×(−7)×(−7)(-7)^4 = (-7) \times (-7) \times (-7) \times (-7)

1240=1124^0 = 1

02 · Le piège classique

Positif ou négatif ?

Pour une base négative, un seul réflexe à avoir : compter pair ou impair.

exposant pair

(−a)n(-a)^n est positif

(−21,5)124>0(-21{,}5)^{124} > 0 · 124 est pair

exposant impair

(−a)n(-a)^n est négatif

(−225)217<0(-225)^{217} < 0 · 217 est impair

⚠ Attention à ne pas confondre

(−a)n≠−an(-a)^n \neq -a^n en général

(−3,5)2=+3,5×3,5=12,25(-3{,}5)^2 = +3{,}5 \times 3{,}5 = \mathbf{12{,}25}

(−3)5=−3×3×3×3×3=−729(-3)^5 = -3 \times 3 \times 3 \times 3 \times 3 = \mathbf{-729}

03 · Le raccourci le plus utile

Les puissances de 10

L'exposant compte directement les zéros. Rien à calculer.
10n=1 000…010^n = 1\,000\ldots0
nn zéros

103=1 00010^3 = 1\,000

107=10 000 00010^7 = 10\,000\,000

1012=1 000 000 000 00010^{12} = 1\,000\,000\,000\,000

04 · Les 5 règles à connaître

Propriétés des puissances

Toujours la même idée : on additionne ou on multiplie les exposants selon le cas.

même base · produit

am×an=am+na^m \times a^n = a^{m+n}

2,512×2,57=2,5192{,}5^{12} \times 2{,}5^7 = 2{,}5^{19}

même base · quotient

aman=am−n\dfrac{a^m}{a^n} = a^{m-n}

1125÷1111=111411^{25} \div 11^{11} = 11^{14}

même exposant · produit

am×bm=(ab)ma^m \times b^m = (ab)^m

47×157=6074^7 \times 15^7 = 60^7

même exposant · quotient

ambm=(ab)m\dfrac{a^m}{b^m} = \left(\dfrac{a}{b}\right)^m

2511÷511=51125^{11} \div 5^{11} = 5^{11}

puissance d'une puissance

(am)n=am×n(a^m)^n = a^{m \times n}

(2313)10=23130(23^{13})^{10} = 23^{130}

À toi de jouer

5 exercices corrigés

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Calculer
11 expressions
132×523^2 \times 5^2
2(−0,25)4(-0{,}25)^4
3[(−3,5)2]3[(-3{,}5)^2]^3
4[(−5)0]240[(-5)^0]^{240}
5−173-17^3
6−2,64-2{,}6^4
7−[(−5)2]2-[(-5)^2]^2
8(−2254,326)1(-2254{,}326)^1
9(−2,52)3(-2{,}5^2)^3
10[−(−3,2)3]2[-(-3{,}2)^3]^2
11−(−(−(−2)2)2)2-(-(-(-2)^2)^2)^2
2
Trouve nn
1(72)n=712(7^2)^n = 7^{12}
2(−5)n×(−5)3=(−5)11(-5)^n \times (-5)^3 = (-5)^{11}
3(−11)5×[(−11)2]n=(−11)5×(−11)6(-11)^5 \times [(-11)^2]^n = (-11)^5 \times (-11)^6
4(2,5)4−n=2,542,5(2{,}5)^{4-n} = \dfrac{2{,}5^4}{2{,}5}
3
Écris comme une seule puissance
Aa2×b×a3×b4a^2 \times b \times a^3 \times b^4
B(a2)3×b2×(a×b)3×(b2)2(a^2)^3 \times b^2 \times (a \times b)^3 \times (b^2)^2
Ca2×b3×a(a×b)3\dfrac{a^2 \times b^3 \times a}{(a \times b)^3}
D(a2)3(b3)2×a4×(a2)2b2×(b3)2\dfrac{(a^2)^3}{(b^3)^2} \times \dfrac{a^4 \times (a^2)^2}{b^2 \times (b^3)^2}
Ea2×(a×a3×a4)5×1(b7)6a^2 \times (a \times a^3 \times a^4)^5 \times \dfrac{1}{(b^7)^6}
4
Démontre à partir d'une donnée
Donnée

On pose : a×b×c=−1a \times b \times c = -1

1a2×b×c=−aa^2 \times b \times c = -a
2a2×b2×c2=1a^2 \times b^2 \times c^2 = 1
3a3×b×c=−a2a^3 \times b \times c = -a^2
4a3×b3×c3=−1a^3 \times b^3 \times c^3 = -1
5
Exprime en une seule puissance
1(104)5(10^4)^5
227×572^7 \times 5^7
3(52)4×48×53(5^2)^4 \times 4^8 \times 5^3
4108×10610^8 \times 10^6
5100000100\dfrac{100000}{100}
6512×412212\dfrac{5^{12} \times 4^{12}}{2^{12}}

Les puissances · Mathématiques, 1ʳᵉ année collège, semestre 1.