1ʳᵉ Année Collège · Chapitre 9

Géométrie du plan

Le plan, le point, la droite, la demi-droite, le segment et le milieu : les bases, en images, avec 12 exercices corrigés.

Découvrir le coursS'entraîner
6

notions clés

12

exercices corrigés

40+

figures illustrées

01 · La scène de la géométrie

Le plan

La surface sur laquelle vivent tous les objets de la géométrie.

1. Définition

Le plan est une surface infinie sur laquelle on trace : les points, les droites, les demi-droites, les segments, ainsi que toutes les figures géométriques.

On dit aussi que le plan est un ensemble de points.

2. Représentation

Le plan peut être représenté en classe par le tableau et par la feuille de notre cahier de géométrie.

Le tableauLa feuille

02 · Le point

Les figures géométriques usuelles · Le point

L'élément le plus simple de la géométrie.
  • Le point est l'élément le plus simple de la géométrie.
  • Un point est représenté le plus souvent par une croix (×).
  • Un point peut porter un nom comme : A, B, C, D, ...
  • Deux points distincts sont deux points différents et ne portent jamais le même nom.
  • Deux points confondus sont deux points égaux et représentent le même point.

** Exemples

AB

Soient A et B deux points distincts. On écrit : A ≠ B

AB

Soient A et B deux points confondus. On écrit : A = B

03 · La droite

La droite

Une ligne droite illimitée des deux côtés, et tout ce qu'on peut dire de deux ou trois droites entre elles.

a) Qu'est-ce qu'une droite ?

  • La droite est une ligne droite illimitée des deux côtés.
  • Pour tracer une droite on utilise la règle.
  • Une droite peut porter un nom comme : (D), (Δ), (D′), (Δ′), (L), (L′), ...

** Exemple

(D)(Δ)

Soient (D) et (Δ) deux droites.

** Vocabulaire

On considère la figure ci-contre telle que : (D) une droite et A, B deux points distincts.

(D)AB
  • Le point A se trouve sur la droite (D) : on dit que A appartient à (D). On écrit : A ∈ (D)
  • Le point B est à l'extérieur de (D) : on dit que B n'appartient pas à (D). On écrit : B ∉ (D)

∈ signifie « appartient à » · ∉ signifie « n'appartient pas à »

b) Propriétés

1

Propriété 1

Par deux points distincts passe une et une seule droite.

Exemple

AB

Cette droite porte le nom (AB) ou (BA).

2

Propriété 2

Par un point passe une infinité de droites.

Exemple

A

Par le point A passent une infinité de droites (plusieurs droites).

c) Points alignés

Les points alignés sont des points qui appartiennent à une même droite.
ABC

A, B et C sont des points alignés

EFG

E, F et G ne sont pas des points alignés

d) Positions de deux droites

Droites sécantes

Deux droites sécantes sont deux droites qui n'ont qu'un seul point commun.
(D)(Δ)A

(D) et (Δ) sécantes en A

A est le point d'intersection. Deux droites sécantes sont distinctes.

Droites confondues

Deux droites confondues sont deux droites qui ont plus d'un point commun.
(D)(Δ)

(D) et (Δ) confondues

On écrit : (D) = (Δ) ou (Δ) = (D).

Droites parallèles

Deux droites parallèles sont deux droites non sécantes ou confondues.
(D)(Δ)

On écrit : (D) ∥ (Δ) ou (Δ) ∥ (D)

Propriété : par un point donné passe une seule droite parallèle à une droite donnée.
(D)M

Par le point M passe une seule droite parallèle à (D).

Propriété : par un point donné passe une seule droite perpendiculaire à une droite donnée.
(D)M

Par le point M passe une seule droite perpendiculaire à (D).

Droites perpendiculaires

Deux droites perpendiculaires sont deux droites sécantes qui forment quatre angles droits.
(D)(Δ)

On écrit : (D) ⊥ (Δ) ou (Δ) ⊥ (D)

Projeté orthogonal & distance

(D) une droite et E un point à l'extérieur de (D). La perpendiculaire à (D) passant par E coupe (D) en H.

(D)EH
  • H est appelé : projeté orthogonal de E sur (D).
  • EH est appelée : distance entre E et (D).

e) Propriétés de trois droites

Ces cinq propriétés de « transitivité » sont la clé de presque tous les exercices de démonstration de ce chapitre : elles reviennent sans cesse dans les exercices 08 à 12.

1

Propriété 1

Si deux droites sont parallèles, alors toute sécante à l'une est sécante à l'autre.
(D)(Δ)(L)

(D) ∥ (Δ), (L) sécante à (D) ⟹ (L) sécante à (Δ)

2

Propriété 2

Si deux droites sont parallèles, alors toute parallèle à l'une est parallèle à l'autre.
(D)(Δ)(L)

(D) ∥ (Δ), (L) ∥ (D) ⟹ (L) ∥ (Δ)

3

Propriété 3

Si deux droites sont parallèles, alors toute perpendiculaire à l'une est perpendiculaire à l'autre.
(D)(Δ)(L)

(D) ∥ (Δ), (L) ⊥ (D) ⟹ (L) ⊥ (Δ)

4

Propriété 4

Si deux droites sont perpendiculaires, alors toute perpendiculaire à l'une est parallèle à l'autre.
(D)(Δ)(L)

(D) ⊥ (Δ), (L) ⊥ (D) ⟹ (L) ∥ (Δ)

5

Propriété 5

Si deux droites sont perpendiculaires, alors toute parallèle à l'une est perpendiculaire à l'autre.
(D)(Δ)(L)

(D) ⊥ (Δ), (L) ∥ (D) ⟹ (L) ⊥ (Δ)

💡 À retenir

Pour prouver qu'une droite est parallèle ou perpendiculaire à une autre dans un exercice, cherche toujours une troisième droite qui les relie déjà par une propriété ci-dessus.

04 · La demi-droite

La demi-droite

a) Qu'est-ce qu'une demi-droite ?

La demi-droite est une partie d'une droite limitée d'un côté par un point appelé origine de la demi-droite, et illimitée de l'autre côté.

b) Exemple

AB

Demi-droite d'origine A qui passe par B. On note : [AB)

Remarque : la droite (AB) s'appelle le support de la demi-droite [AB).

c) Demi-droites opposées

Deux demi-droites opposées sont deux demi-droites qui ont :

  • Même origine.
  • Même support.
  • Un seul point commun, qui est l'origine.

Exemple

CAB

[AB) et [AC) sont deux demi-droites opposées.

05 · Le segment et son milieu

Le segment

a) Définition

Un segment est une partie d'une droite limitée des deux côtés par deux points appelés extrémités du segment.

b) Exemple

AB

Segment d'extrémités A et B, noté [AB]

Remarque : la droite (AB) s'appelle le support du segment [AB].

c) Longueur d'un segment

La longueur d'un segment [AB], c'est la distance entre ses extrémités A et B, notée AB.

Exemple

AB5,5 cm

Traçons [AB] tel que : AB = 5,5 cm

d) Segments égaux (isométriques)

Deux segments égaux (isométriques) sont deux segments de même longueur.

Exemple

ABEF

AB = 6 cm et EF = 6 cm. On écrit : AB = EF

e) Milieu d'un segment

La notion la plus utilisée dans les exercices de construction (08 à 12) : savoir reconnaître et utiliser un milieu.

Le milieu d'un segment est le point qui appartient au segment et qui est équidistant à ses extrémités.

Exemple

AEB3 cm3 cm

AB = 6 cm, E ∈ [AB], AE = 3 cm, EB = 3 cm : E est le milieu de [AB].

1

Propriété directe

Si un point M est le milieu d'un segment [AB], alors :

M ∈ [AB] et AM = MB = AB∕2

(AB = 2 × AM et AB = 2 × MB)

Application

Soient E, F, G trois points tels que EF = 3,5 cm et F le milieu du segment [EG]. Calculer FG puis EG.

EFG

FG : F milieu de [EG] ⟹ EF = FG, donc FG = 3,5 cm.

EG : EG = 2 × EF = 2 × 3,5, donc EG = 7 cm.

2

Propriété réciproque

Si [AB] est un segment et M un point tels que : M ∈ [AB] et AM = MB, alors M est le milieu du segment [AB].

Application

Soit (ζ) un cercle de centre O, de rayon r et de diamètre [AB]. Montrer que O est le milieu du segment [AB].

(ζ)AOB

1) O est le centre du cercle (ζ) de diamètre [AB], donc : O ∈ [AB] (1)

2) A ∈ (ζ) et B ∈ (ζ), (ζ) de centre O et de rayon r, donc : AO = r et OB = r, d'où AO = OB (2)

D'après (1) et (2), d'après la propriété réciproque : O est le milieu du segment [AB].

À toi de jouer

12 exercices corrigés

Cherche chaque exercice sur ton cahier, puis clique pour vérifier ta réponse.

0 / 12 vérifiés

1
Droites, segments, demi-droites, alignement
ABECD
  1. Tracer la droite (AC) et le segment [BC].
  2. Tracer les demi-droites [AD) et [DC).
  3. Construire M le point d'intersection de (AC) et (BD).
  4. Les points A, B et C sont …………
  5. Les points C, D et E sont …………
2
Vocabulaire
7 blancs
  1. [AB] est un ……… ;
  2. (AB) est une ……… ;
  3. [AB) est une ……… ;
  4. AB est une ……… ;
  5. Le point A appartient à la droite (D). On note : ……
  6. Le point A n'appartient pas à la droite (D). On note : ……
  7. Les points A, B et C appartiennent à la droite (D). On dit que les points A, B et C sont ………
3
Vocabulaire + figures
4 phrases à compléter

a) La ……. (D) coupe le ……. [IJ] au ……. K mais ce n'est pas le milieu du ……. [IJ].

b) La ……. (D₁) coupe le ……. (ζ) de centre O et de rayon 4cm en deux ……. A et B mais le ……. [AB] n'est pas un diamètre du cercle (ζ).

c) Le ……. C appartient à la [BA) mais il n'appartient pas au ……. [BA].

d) Le ……. A est le ……. d'intersection de la ……. (BC) et de la ……. (EF). Le ……. E appartient au ……. [FA] mais le ……. A n'appartient pas au ……. [BC].

4
Segment, distances, milieu
  1. Tracer un segment [AB] de longueur 6 cm et un point M ∈ [AB] tel que : AM = 2,5 cm.
  2. Déterminer la distance BM.
  3. Construire le point C le milieu du segment [AB].
  4. Déterminer AC, MC et MB.
5
Construction : milieu et demi-droite
  1. Tracer une droite (D) et placer un point A sur cette droite.
  2. Placer un point B ∈ (D) qui se trouve à 4 cm du point A.
  3. Placer le point M le milieu de [AB].
  4. Tracer en vert la demi-droite d'origine B qui ne passe pas par les points A et M.
6
Lecture de figure · ∈ / ∉
ABCODEMF

B⋯(AC) ; C⋯(AB) ; A⋯(BC) ; B⋯[AC] ; A⋯[BC] ; B⋯[AC] ; C⋯[AB] ; A⋯[BC] ; B⋯(AC) ; A⋯(BC) ; C⋯[AB] ; C⋯(AB) ; A⋯(OE) ; A⋯[OE] ; A⋯(OE) ; A⋯[EO) ; O⋯[DB) ; D⋯[BO) ; M⋯[ME] ; M⋯(AD) ; F⋯(AB) ; M⋯[AD] ; F⋯[BA) ; O⋯(DF)

2. Cite trois points alignés. 3. Cite trois points non alignés.

4. Complète : (AE)&(BD) sont … en … · (AB)&(BC) sont … · O est … de (AE) et (BD) · B, D sont … de [BD] · D est … de [DO) · A,B,C sont … · B … au segment [AC].

7
Positions relatives de 6 droites
(d₁)(d₂)(d₃)(d₄)(d₅)(d₆)

1. Complète par : Sécantes ; parallèles ; perpendiculaire ; concourantes

  • Les droites (d₁) et (d₂) sont ……
  • Les droites (d₁) et (d₃) sont ……
  • Les droites (d₄), (d₅) et (d₆) sont ……
  • Les droites (d₁) et (d₅) sont ……
  • Les droites (d₂), (d₃) et (d₄) sont ……
  • Les droites (d₁), (d₃) et (d₆) sont ……
  • Les droites (d₂) et (d₃) sont ……
8
Construction + démonstration
(d)ABC
  1. Tracer la droite (d₁) passant par le point A et perpendiculaire à la droite (d).
  2. Tracer la droite (d₂) passant par le point B et perpendiculaire à la droite (d).
  3. Tracer la droite (d₃) passant par le point C et parallèle à la droite (d).
  4. Montrer que (d₁) ∥ (d₂).
  5. Montrer que (d₂) ⊥ (d₃) et (d₁) ⊥ (d₃).
9
Projeté orthogonal

Soit (D) une droite, E et F deux points n'appartenant pas à la droite (D).

(D)EF
  1. Tracer le point E′ projeté orthogonal du point E sur la droite (D).
  2. Tracer le point F′ projeté orthogonal du point F sur la droite (D).
  3. Montrer que les droites (EE′) et (FF′) sont parallèles.
10
Construction guidée (6 étapes)

On considère la figure suivante :

(D)BAC
  1. Tracer une droite (Δ) passant par le point C et qui coupe (D) au point A.
  2. Tracer une droite (K) passant par le point C et parallèle à la droite (D).
  3. Construire E le projeté orthogonal du point C sur la droite (D).
  4. Construire F le milieu du segment [AC].
  5. Construire un point M tel que : M ∈ (K) et B, F et M sont des points alignés.
  6. Construire un point N tel que : le point C est le milieu du segment [AN].
11
Triangle entre deux parallèles
  1. Tracer deux droites parallèles (D) et (Δ).
  2. Construire le triangle ABC tel que : A ∈ (D), B ∈ (Δ) et C ∈ (Δ).
  3. Tracer le point H, projeté orthogonal du point A sur la droite (Δ).
  4. Soit E un point de la droite (D) (différent de A). Tracer le point K, projeté orthogonal du point E sur la droite (Δ).
  5. Montrer que (D) ⊥ (AH) et (D) ⊥ (EK).
  6. Montrer que (AH) ∥ (EK).
12
Triangle rectangle et parallèles
  1. Construire le triangle ABC rectangle en A, et tracer les droites suivantes :
    • La droite (D₁) qui passe par A et parallèle à (BC).
    • La droite (D₂) qui passe par B et parallèle à (AC).
    • La droite (D₃) qui passe par C et parallèle à (AB).
  2. Montrer que : (AB) ⊥ (D₂) et (AC) ⊥ (D₃) et (D₂) ⊥ (D₃).

Notions de géométrie du plan · Mathématiques, 1ʳᵉ année collège, semestre 1.