1ʳᵉ Année Collège · Chapitre 6

Addition et soustraction

Huit règles pour additionner, soustraire et simplifier des expressions avec des nombres relatifs, illustrées d'exemples résolus.

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règles et propriétés

exercices corrigés

questions corrigées

+−

01 · Additionner deux nombres relatifs

Addition de deux nombres relatifs

Quatre situations à connaître : même signe, signes contraires, addition avec zéro, addition de deux nombres opposés.

Règle 1 · Somme de deux nombres de même signe

Pour calculer la somme de deux nombres relatifs de même signe, on garde le même signe puis on additionne les distances des deux nombres à zéro.

(-25) + (-11) = -(25+11) = \mathbf{-36}

(-37{,}5) + (-20) = -(37{,}5+20) = \mathbf{-57{,}5}

12{,}03 + 0{,}5 = \mathbf{12{,}53}

314 + 19{,}23 = \mathbf{333{,}23}

Règle 2 · Somme de deux nombres de signes contraires

Pour calculer la somme de deux nombres relatifs de signes contraires, on garde le signe du nombre le plus éloigné de zéro, puis on fait la différence des distances des deux nombres à zéro.

(-15) + 11 = -(15-11) = \mathbf{-4}

(-25{,}6) + 45 = +(45-25{,}6) = \mathbf{19{,}4}

22 + (-7) = +(22-7) = \mathbf{15}

17 + (-23) = -(23-17) = \mathbf{-6}

Propriété 1 · Somme d'un nombre relatif et de zéro

Soit $x$ un nombre relatif : $x + 0 = x$ et $0 + x = x$ .

-22{,}5 + 0 = \mathbf{-22{,}5}

17 + 0 = \mathbf{17}

0 + (-114) = \mathbf{-114}

0 + 25{,}33 = \mathbf{25{,}33}

Propriété 2 · Somme de deux nombres opposés

La somme de deux nombres relatifs opposés est égale à zéro.

-221 + 221 = \mathbf{0}

11{,}12 + (-11{,}12) = \mathbf{0}

02 · Soustraire deux nombres relatifs

Soustraction de deux nombres relatifs

Une seule propriété suffit : elle ramène toujours la soustraction à une addition déjà connue.

Propriété · Soustraire, c'est ajouter l'opposé

Soustraire un nombre relatif revient à ajouter son opposé. C'est-à-dire : $a - b = a + (-b)$ , où $a$ et $b$ sont deux nombres relatifs.

25 - 29 = 25 + (-29) = \mathbf{-4}

-47{,}5 - 20 = -47{,}5 + (-20) = \mathbf{-67{,}5}

15{,}23 - (-11) = 15{,}23 + 11 = \mathbf{26{,}23}

-12 - (-27{,}5) = -12 + 27{,}5 = \mathbf{15{,}5}

03 · Simplifier et calculer

Expressions algébriques

Une expression algébrique mélange nombres relatifs, parenthèses et opérations. On la simplifie avant de la calculer.

1. Exemples d'expressions algébriques

A = 2{,}5 + 11 - (-1{,}3) - 47 + 12 - 1

B = (2{,}5+1) - (-25+0{,}25-12) - 11

C = -4{,}5 - 23 + (6-1{,}5+7-(-4+5{,}2)) - 1{,}5 + 3

2. Simplifier une expression algébrique

Pour simplifier une expression algébrique, on supprime les parenthèses en commençant par les plus intérieures, selon les deux règles suivantes.

Règle 1 · Parenthèses précédées du signe +

Si des parenthèses sont précédées du signe +, on peut supprimer les parenthèses et le signe + (en commençant par les plus intérieures), sans changer les signes des termes entre les parenthèses.

Exemple A

$A = 2{,}5 + (-11) + (25+2-7) - 4$

$A = 2{,}5 - 11 + 25 + 2 - 7 - 4$

Exemple B

$B = (5-2{,}5) + (11+(-7+8)) - 6$

$B = 5 - 2{,}5 + (11-7+8) - 6$

$B = 5 - 2{,}5 + 11 - 7 + 8 - 6$

Règle 2 · Parenthèses précédées du signe −

Si des parenthèses sont précédées du signe −, on peut supprimer les parenthèses et le signe − (en commençant par les plus intérieures), et changer les signes des termes entre les parenthèses.

Exemple A

$A = 7{,}5 - (-31) - (2{,}5+12-4) - 2$

$A = 7{,}5 + 31 - 2{,}5 - 12 + 4 - 2$

Exemple B

$B = -(15-3{,}5) - (1-(-3+4{,}5)) - 3$

$B = -15 + 3{,}5 - (1+3-4{,}5) - 3$

$B = -15 + 3{,}5 - 1 - 3 + 4{,}5 - 3$

3. Calculer une expression algébrique simplifiée

Pour calculer une expression algébrique, il faut d'abord la simplifier.

Règle 3 · Regrouper avant de calculer

Pour calculer une expression algébrique simplifiée, on ajoute entre eux : les nombres opposés, puis les nombres positifs, puis les nombres négatifs.

Exemple A · calculons l'expression

$A = 2{,}5 - 11 + 3 - 2{,}5 + 7 - 3 + 4{,}5 + 1 - 6$

$A = 2{,}5 - 2{,}5 + 3 - 3 + 7 + 4{,}5 + 1 - 11 - 6$

$A = 0 + 0 + 12{,}5 - 17$

$A = 12{,}5 - 17$

$A = \mathbf{-4{,}5}$

Exemple B · simplifions puis calculons

$B = 3{,}5 - (11+3{,}5) + (-7-(-11+1)) + 15$

$B = 3{,}5 - 11 - 3{,}5 + (-7+11-1) + 15$

$B = 3{,}5 - 11 - 3{,}5 - 7 + 11 - 1 + 15$

$B = 3{,}5 - 3{,}5 - 11 + 11 + 15 - 7 - 1$

$B = 0 - 0 + 15 - 8$

$B = 15 - 8$

$B = \mathbf{7}$

Remarque utile pour les exercices

Les exercices 5 et 6.1 ci-dessous appliquent directement la propriété de la partie II (transformer une soustraction en addition) ; l'exercice 6.2 applique les règles de suppression des parenthèses de cette partie III.

À toi de jouer

6 exercices corrigés

Cherche la solution de chaque exercice, puis clique pour vérifier tes réponses.

0 / 6 vérifiés

Gains ou pertes

5 situations

Exemple

Perd 15 DH, puis gagne 13 DH → Une perte de 2 DH

Perd 15 DH, puis gagne 12 DH

Gagne 15 DH, puis perd 17 DH

Perd 10 DH, puis gagne 17 DH

Gagne 35 DH, puis gagne 47 DH

Perd 15 DH, puis gagne 15 DH

Calculer les sommes suivantes

15 sommes

(+11) + (+3)

(-2{,}5) + (-12)

-4 + (-12)

(+7) + (-5)

(-7) + (+5)

(-7) + (-4)

(+2{,}5) + (-12)

-14 + (+17)

-8 + 4

(+76) + (-76)

(-1) + (-5)

(-12) + (+1{,}5)

(+4) + (-7)

(+5) + (-2)

+4 + (-12)

Complète les schémas

pyramides et carrés magiques

1. Pyramides additives

Chaque nombre est la somme des deux nombres juste en dessous.

-2

-5

-3

-5

2. Carrés magiques

Les sommes de chaque ligne, de chaque colonne et de chaque diagonale doivent être égales.

-4

-5

-1

-4

-7

-2

-3

Détermine la valeur manquante

5 égalités

\Box + (+4) = (+3)

(-3) + \Box = (-5)

\Box + (+7) = (-12)

\Box + (-7{,}2) = (-1{,}8)

(-5{,}8) + \Box = (+6{,}4)

Transforme puis calcule

6 soustractions

(+10) - (-12)

(-21) - (+13)

(-9) - (+14)

(+12{,}4) - (-9{,}7)

(-65) - (-78)

(-17{,}2) - (+5{,}5)

Supprime les parenthèses, puis calcule

11 expressions

1. Transforme la (ou les) soustraction(s) en addition(s), puis calcule

A = (-3) + (+6) - (-8)

B = (+2) - (+3) - (+4)

C = (-5) - (+3) - (-4) + (-10)

D = (-9) + (-15) - (+1) + (+4)

E = (-8) - (+5) - (-4) - (-14) - (-3)

2. Supprime toutes les parenthèses, puis effectue les calculs demandés

A = (-5) + (-4) - (+6) - (-5) + (+4)

B = (+7{,}6) + (-3{,}8) - (-5{,}4) - (+6{,}2) + (+10)

C = (-0{,}25) - (+1{,}3) + (-9{,}7) + (-0{,}75)

F = (+1) - (+2) + (+1) - (+3) + (+1) - (+4)

D = [(+9)+(-4)] - (+7) + (+15) - [(+8)-(-5)]

E = (+4) - (-5) + (+7) - [(+6)+(-9)]

Les nombres relatifs · Addition et soustraction · Mathématiques, 1ʳᵉ année collège, semestre 1.