1ʳᵉ Année Collège · Chapitre 3

Nombres en écriture fractionnaire

Écriture fractionnaire, fraction, simplification, réduction au même dénominateur et comparaison : toutes les règles du cours, avec 18 exercices corrigés.

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01 · Les définitions

Écriture fractionnaire et fraction

Deux mots proches, une différence importante : les nombres, entiers ou pas.

1. Écriture fractionnaire

Définition et vocabulaire

L'écriture fractionnaire, c'est le quotient d'un nombre décimal

a

par un nombre décimal non nul

b

, notée

\dfrac{a}{b}

a

est le numérateur,

b

est le dénominateur.

Exemples d'écritures fractionnaires

\dfrac{2{,}5}{4}

\dfrac{11}{3{,}7}

\dfrac{0{,}12}{5{,}4}

\dfrac{11}{27}

2. Fraction

Définition et vocabulaire

Une fraction, c'est le quotient d'un nombre entier

a

par un nombre entier non nul

b

, notée

\dfrac{a}{b}

a

est le numérateur,

b

est le dénominateur.

Exemples de fractions

\dfrac{21}{4}

\dfrac{31}{7}

\dfrac{12}{54}

\dfrac{11}{27}

Remarques importantes

Toute fraction est une écriture fractionnaire. Exemple : $\dfrac{2}{5}$ est à la fois une fraction et une écriture fractionnaire.

Une écriture fractionnaire n'est pas toujours une fraction. Exemple : $\dfrac{2{,}5}{7}$ est une écriture fractionnaire mais pas une fraction (2,5 n'est pas un entier).

Un quotient peut être une fraction, une écriture fractionnaire, ou les deux à la fois. Exemples : $\dfrac{2}{9}$ , $\dfrac{2{,}5}{3{,}7}$ , $\dfrac{1}{2{,}5}$ , $\dfrac{3{,}8}{7}$ .

3. Transformer une écriture fractionnaire en fraction

Règle

On multiplie le numérateur et le dénominateur par 10, 100, 1000… (selon le nombre de chiffres après la virgule) jusqu'à obtenir des nombres entiers.

$\dfrac{2{,}5}{5} = \dfrac{2{,}5\times10}{5\times10} = \dfrac{25}{50}$

$\dfrac{7}{0{,}02} = \dfrac{7\times100}{0{,}02\times100} = \dfrac{700}{2}$

$\dfrac{3{,}12}{1{,}5} = \dfrac{3{,}12\times100}{1{,}5\times100} = \dfrac{312}{150}$

$\dfrac{3{,}12}{0{,}453} = \dfrac{3{,}12\times1000}{0{,}453\times1000} = \dfrac{3120}{453}$

02 · Multiplier ou diviser

Égalité de deux quotients

On peut changer l'écriture d'un quotient sans changer sa valeur.

Règle

Un quotient

\dfrac{a}{b}

(avec

b \neq 0

) ne change pas si l'on multiplie ou si l'on divise son numérateur et son dénominateur par un même nombre

k

non nul.

\dfrac{a}{b} = \dfrac{a\times k}{b\times k} \qquad \dfrac{a}{b} = \dfrac{a\div k}{b\div k}

$\dfrac{11}{3} = \dfrac{11\times5}{3\times5} = \dfrac{55}{15}$

$\dfrac{24}{27} = \dfrac{24\div3}{27\div3} = \dfrac{8}{9}$

03 · Diviser par le PGDC

Simplification d'une fraction

On rend une fraction plus simple sans changer sa valeur.

Règle

Pour simplifier une fraction, on divise son numérateur et son dénominateur par leur plus grand diviseur commun (PGDC).

$\dfrac{15}{20} = \dfrac{15\div5}{20\div5} = \dfrac{3}{4}$

$\dfrac{75}{50} = \dfrac{75\div25}{50\div25} = \dfrac{3}{2}$

$\dfrac{2{,}5}{10} = \dfrac{25}{100} = \dfrac{1}{4}$

04 · Chercher le PPMC

Réduire au même dénominateur

On cherche le plus petit multiple commun (PPMC) des dénominateurs.

Règle

Pour réduire des fractions au même dénominateur, on cherche le plus petit multiple commun (PPMC) de leurs dénominateurs.

Réduisons $\dfrac{3}{8}$ et $\dfrac{11}{12}$ (PPMC(8,12) = 24)

$\dfrac{3}{8} = \dfrac{3\times3}{8\times3} = \dfrac{9}{24}$

$\dfrac{11}{12} = \dfrac{11\times2}{12\times2} = \dfrac{22}{24}$

Réduisons $\dfrac{7}{8}$ et $\dfrac{13}{4}$ (8 multiple de 4)

$\dfrac{7}{8} = \dfrac{7}{8}$

$\dfrac{13}{4} = \dfrac{13\times2}{4\times2} = \dfrac{26}{8}$

Réduisons $\dfrac{7}{5}$ , $\dfrac{13}{15}$ et $\dfrac{5}{9}$ (PPMC(5,15,9) = 45)

$\dfrac{7}{5} = \dfrac{7\times9}{5\times9} = \dfrac{63}{45}$

$\dfrac{13}{15} = \dfrac{13\times3}{15\times3} = \dfrac{39}{45}$

$\dfrac{5}{9} = \dfrac{5\times5}{9\times5} = \dfrac{25}{45}$

Réduisons $\dfrac{3}{27}$ , $\dfrac{1}{3}$ et $\dfrac{7}{9}$ (27 multiple de 3 et de 9)

$\dfrac{3}{27} = \dfrac{3}{27}$

$\dfrac{1}{3} = \dfrac{1\times9}{3\times9} = \dfrac{9}{27}$

$\dfrac{7}{9} = \dfrac{7\times3}{9\times3} = \dfrac{21}{27}$

05 · Les 4 règles

Comparer deux nombres en écriture fractionnaire

Quatre situations, quatre réflexes.

1. Même dénominateur

Règle 1

Soient

\dfrac{a}{b}

\dfrac{c}{b}

deux nombres en écriture fractionnaire (

b \neq 0

) : si

a>c

alors

\dfrac{a}{b}>\dfrac{c}{b}

, si

a<c

alors

\dfrac{a}{b}<\dfrac{c}{b}

$\dfrac{11}{7} < \dfrac{13}{7}$ car 11 < 13

$\dfrac{17}{5} > \dfrac{9}{5}$ car 17 > 9

2. Même numérateur

Règle 2

Soient

\dfrac{a}{b}

\dfrac{a}{c}

(

b \neq 0

c \neq 0

) : si

b>c

alors

\dfrac{a}{b}<\dfrac{a}{c}

, si

b<c

alors

\dfrac{a}{b}>\dfrac{a}{c}

$\dfrac{11}{10} < \dfrac{11}{9}$ car 10 > 9

$\dfrac{7}{15} > \dfrac{7}{29}$ car 15 < 29

3. Ni même dénominateur, ni même numérateur

Règle 3

On réduit d'abord au même dénominateur, puis on applique la Règle 1.

Comparons $\dfrac{11}{5}$ et $\dfrac{7}{10}$ :

$\dfrac{11}{5} = \dfrac{11\times2}{5\times2} = \dfrac{22}{10}$

Donc $\dfrac{22}{10} > \dfrac{7}{10}$ , d'où $\dfrac{11}{5} > \dfrac{7}{10}$ .

Comparons $\dfrac{13}{7}$ et $\dfrac{17}{5}$ :

$\dfrac{13}{7} = \dfrac{65}{35}$ , $\dfrac{17}{5} = \dfrac{119}{35}$

Donc $\dfrac{65}{35} < \dfrac{119}{35}$ , d'où $\dfrac{13}{7} < \dfrac{17}{5}$ .

4. Comparer à 1

Règle 4

Soit

\dfrac{a}{b}

(

b \neq 0

) : si

a>b

alors

\dfrac{a}{b}>1

, si

a<b

alors

\dfrac{a}{b}<1

$\dfrac{17}{9} > 1$ car 17 > 9

$\dfrac{7}{19} < 1$ car 7 < 19

À toi de jouer

18 exercices corrigés

Cherche sur ton cahier, puis clique pour vérifier.

0 / 18 vérifiés

Range chaque quotient : inférieur, égal ou supérieur à 1

9 quotients

\dfrac{28}{13}

\dfrac{12{,}9}{12{,}9}

\dfrac{285698}{286598}

\dfrac{1287}{128}

\dfrac{0{,}03}{0{,}3}

\dfrac{90{,}02}{90{,}20}

\dfrac{2{,}8}{1}

\dfrac{3{,}2}{32}

\dfrac{8}{1}

Comparer A et B à 1, puis les comparer entre eux

2 étapes

On compare les deux fractions $A = \dfrac{128}{157}$ et $B = \dfrac{172}{113}$ .

Compare A et B à 1.
Déduis-en une comparaison entre A et B.

Compare sans calculatrice

8 paires

\dfrac{154}{125} \ \dots\ \dfrac{158}{189}

\dfrac{51{,}54}{60} \ \dots\ \dfrac{60}{51{,}54}

\dfrac{678}{987} \ \dots\ \dfrac{998}{679}

\dfrac{5{,}89}{5{,}98} \ \dots\ \dfrac{3{,}52}{3{,}25}

\dfrac{4}{3} \ \dots\ \dfrac{3}{4}

\dfrac{3{,}2}{13} \ \dots\ \dfrac{32}{13}

6 \ \dots\ \dfrac{1}{6}

\dfrac{1{,}01}{1{,}010} \ \dots\ \dfrac{1{,}001}{1{,}010}

Compare (même dénominateur → Règle 1)

10 paires

\dfrac{2}{3} \ \dots\ \dfrac{4}{3}

\dfrac{3{,}2}{13} \ \dots\ \dfrac{3{,}02}{13}

\dfrac{7}{5} \ \dots\ \dfrac{8}{5}

\dfrac{0{,}3}{47} \ \dots\ \dfrac{0{,}31}{47}

\dfrac{45}{16} \ \dots\ \dfrac{54}{16}

\dfrac{0{,}7}{12} \ \dots\ \dfrac{0{,}08}{12}

\dfrac{28}{1} \ \dots\ \dfrac{0{,}5}{1}

\dfrac{1{,}82}{12} \ \dots\ \dfrac{1{,}802}{12}

\dfrac{29}{29} \ \dots\ \dfrac{28{,}99}{29}

\dfrac{0{,}02}{0{,}07} \ \dots\ \dfrac{0{,}2}{0{,}07}

Points sur un axe gradué

1 question

Place les points A, B, C, D et E d'abscisses respectives $\dfrac{12}{9}$ , $\dfrac{5}{9}$ , $\dfrac{15}{9}$ , $\dfrac{1}{9}$ et $\dfrac{8}{9}$ .
Range ces fractions dans l'ordre croissant.

Range dans l'ordre croissant

2 séries

\dfrac{5}{13} ; \dfrac{7}{13} ; \dfrac{3}{13} ; \dfrac{14}{13} ; \dfrac{12}{13}

\dfrac{1{,}2}{13} ; \dfrac{4{,}5}{13} ; \dfrac{1{,}7}{13} ; \dfrac{4{,}52}{13} ; \dfrac{4}{13}

Range dans l'ordre décroissant

2 séries

\dfrac{7}{15} ; \dfrac{17}{15} ; \dfrac{2}{15} ; \dfrac{37}{15} ; \dfrac{12}{15}

\dfrac{3{,}8}{15} ; \dfrac{17{,}1}{15} ; \dfrac{17{,}02}{15} ; \dfrac{3{,}07}{15} ; \dfrac{17{,}002}{15}

Compare en réduisant au même dénominateur

4 paires

\dfrac{2}{3} \text{ et } \dfrac{9}{12}

\dfrac{4}{25} \text{ et } \dfrac{1}{5}

\dfrac{6}{9} \text{ et } \dfrac{24{,}2}{36}

\dfrac{19}{7} \text{ et } 3

Compare mentalement

8 paires

\dfrac{9}{4} \ \dots\ \dfrac{6}{2}

\dfrac{3{,}2}{5} \ \dots\ \dfrac{6{,}04}{10}

\dfrac{8}{9} \ \dots\ \dfrac{2}{3}

\dfrac{10}{210} \ \dots\ \dfrac{3}{420}

\dfrac{45}{16} \ \dots\ \dfrac{10}{4}

\dfrac{0{,}7}{12} \ \dots\ \dfrac{2{,}4}{36}

\dfrac{35}{63} \ \dots\ \dfrac{5}{7}

\dfrac{2}{12} \ \dots\ 6

Réduction, puis comparaison

1 question

On donne $A = \dfrac{1}{2}$ , $B = \dfrac{4}{6}$ , $C = \dfrac{4}{3}$ , $D = \dfrac{3}{12}$ , $E = \dfrac{8}{24}$ .

Écris ces nombres sous forme de fractions de dénominateur 24.
Range-les dans l'ordre croissant, puis déduis-en le classement de A, B, C, D, E.

Pour chercher

0 / 8 vérifiés

Compare (même numérateur → Règle 2)

6 paires

\dfrac{9}{4} \ \dots\ \dfrac{9}{7}

\dfrac{10}{5} \ \dots\ \dfrac{10}{4}

\dfrac{8}{9} \ \dots\ \dfrac{8}{2}

\dfrac{5{,}5}{21} \ \dots\ \dfrac{5{,}5}{19}

\dfrac{1}{17} \ \dots\ \dfrac{1}{7}

\dfrac{8{,}2}{3{,}25} \ \dots\ \dfrac{8{,}2}{3{,}52}

Trouve l'intrus dans chaque suite

3 suites

\dfrac{12}{17} < \dfrac{13}{17} < \dfrac{18}{17} < \dfrac{25}{17} < \dfrac{2{,}7}{17} < \dfrac{28}{17} < \dfrac{30}{17}

\dfrac{28}{20} < \dfrac{28}{19} < \dfrac{28}{21} < \dfrac{28}{14} < \dfrac{28}{11} < \dfrac{28}{9} < \dfrac{28}{5}

\dfrac{0}{3} < \dfrac{12}{17} < \dfrac{15}{21} < \dfrac{17}{19} < \dfrac{74}{82} < \dfrac{19}{18} < \dfrac{25}{27} < \dfrac{14}{15}

Intercale des quotients

2 séries

\dfrac{3{,}82}{7} < \ \dots\ < \dfrac{3{,}83}{7} < \ \dots\ < \dfrac{3{,}831}{7}

\dfrac{3{,}8}{12} < \ \dots\ < \dfrac{3{,}8}{10} < \ \dots\ < \dfrac{3{,}8}{7} < \ \dots\ < \dfrac{3{,}8}{6{,}9}

Décompose en entier + fraction inférieure à 1

4 fractions

Exemple : $\dfrac{27}{4} = 6 + \dfrac{3}{4}$

\dfrac{22}{7}

\dfrac{38}{5}

\dfrac{65}{9}

\dfrac{46}{7}

Encadre par deux entiers consécutifs

4 fractions

\dots < \dfrac{2}{3} < \dots

\dots < \dfrac{10}{3} < \dots

\dots < \dfrac{22}{7} < \dots

\dots < \dfrac{230}{3} < \dots

Problème : l'audimat de trois chaînes

1 problème

Trois chaînes comparent l'audimat de leurs émissions du samedi soir. La chaîne A estime avoir réuni $\dfrac{7}{17}$ des téléspectateurs, la chaîne B annonce $\dfrac{20}{51}$ , et la chaîne C prétend en avoir rassemblé $\dfrac{39}{34}$ .

Quelle chaîne ment assurément ?
Entre les deux autres, laquelle a la meilleure audience ?

Problème : le rapport chevaux / poids de 4 voitures

1 problème

Plus le rapport chevaux ÷ poids est élevé, plus la voiture est rapide.

Voiture A

780 kg · 78 ch

Voiture B

854 kg · 185 ch

Voiture C

996 kg · 156 ch

Voiture D

1,135 t · 122 ch

Classe ces voitures de la plus lente à la plus rapide.

Range dans l'ordre croissant, sans calculatrice

4 séries

\dfrac{12}{17} ; \dfrac{12{,}01}{17} ; \dfrac{11{,}99}{17} ; \dfrac{12{,}2}{17} ; \dfrac{11{,}099}{17}

\dfrac{12}{17} ; \dfrac{7}{5} ; \dfrac{8}{17} ; \dfrac{16}{17} ; \dfrac{12}{5} ; \dfrac{14}{5} ; \dfrac{5}{5} ; \dfrac{7}{17}

\dfrac{4512{,}376}{356298} ; \dfrac{388542}{4{,}523} ; \dfrac{128{,}56}{128{,}56}

\dfrac{0{,}93}{2} ; \dfrac{4{,}88}{8} ; \dfrac{9{,}3}{32} ; \dfrac{47{,}96}{16} ; \dfrac{2{,}45}{4}

Nombres en écriture fractionnaire · Mathématiques, 1ʳᵉ année collège, semestre 1.