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Construction · cercle circonscrit
Tracer le triangle POU rectangle en O tel que :
- • PU = 5 cm
- • PO = 3 cm
- • ∠PUO ≈ 30°
Construire, en couleur, le cercle circonscrit au triangle POU.
Où semble se trouver le centre de ce cercle ?
1ʳᵉ Année Collège · Chapitre 12
Médiatrice, bissectrice et hauteur d'un triangle
Trois droites remarquables, trois points remarquables : le centre du cercle circonscrit, le centre du cercle inscrit, l'orthocentre.
- 3
- 7
- 100%
droites étudiées
exercices
corrigé
01 · Cercle circonscrit
Médiatrice d'un triangle
La médiatrice d'un triangle, c'est simplement la médiatrice de l'un de ses côtés.
Définition
La médiatrice d'un triangle est la médiatrice de l'un de ses côtés.
Exemple
Soit ABC un triangle. Traçons (Δ) la médiatrice du côté [BC]. La droite (Δ) est appelée aussi médiatrice du triangle ABC.
Remarque
Chaque triangle a trois médiatrices (une par côté).
a. Cercle circonscrit à un triangle
Définition
Le cercle circonscrit à un triangle est un cercle qui passe par les sommets du triangle et qui a pour centre le point de rencontre de ses médiatrices.
Remarque importante
Pour tracer le cercle circonscrit à un triangle, il suffit de tracer deux de ses médiatrices : leur point de rencontre est le centre du cercle.
Exemple
Soit ABC un triangle. Traçons le cercle circonscrit au triangle ABC, de centre O. On a alors (rayons du cercle).
02 · Cercle inscrit
Bissectrice d'un triangle
La bissectrice d'un triangle, c'est la bissectrice de l'un de ses angles.
Définition
La bissectrice d'un triangle est la bissectrice de l'un de ses angles.
Exemple
Soit ABC un triangle. Traçons [AE) la bissectrice de l'angle ∠BAC. La demi-droite [AE) est appelée aussi bissectrice du triangle ABC.
Remarque
Chaque triangle a trois bissectrices (une par angle).
a. Cercle inscrit dans un triangle
Définition
Le cercle inscrit dans un triangle est un cercle qui a pour centre le point de rencontre de ses bissectrices (il est tangent intérieurement aux trois côtés).
Remarque importante
Pour tracer le cercle inscrit dans un triangle, il suffit de tracer deux de ses bissectrices.
Exemple
Soit ABC un triangle. Traçons le cercle inscrit dans le triangle ABC, de centre O.
03 · Orthocentre
Hauteur d'un triangle
La hauteur d'un triangle passe par un sommet et coupe perpendiculairement le côté opposé.
Définition
La hauteur d'un triangle est la droite qui passe par l'un des sommets et qui est perpendiculaire au côté opposé à ce sommet.
Exemple
Soit ABC un triangle. Traçons (AH) la hauteur du triangle ABC. On dit que (AH) est la hauteur issue de A.
Remarques
Chaque triangle a trois hauteurs.
Le point H est appelé pied de la hauteur (AH).
La hauteur (AH) peut être notée (AH) ou [AH].
Cas particulier · angle obtus
Soit ABC un triangle tel que ∠ABC est un angle obtus. Traçons (AH) la hauteur du triangle ABC issue de A. Le pied H se trouve alors en dehors du côté [BC] : il faut prolonger (BC) pour tracer la hauteur.
a. L'orthocentre d'un triangle
Définition
L'orthocentre d'un triangle est le point de rencontre de ses hauteurs.
Remarque importante
Pour déterminer l'orthocentre d'un triangle, il suffit de tracer deux de ses hauteurs.
Exemple
Soit ABC un triangle. Traçons K l'orthocentre du triangle ABC : c'est le point commun aux hauteurs (AH) et (BH').
Cas particulier · angle obtus
Soit ABC un triangle tel que ∠ABC est un angle obtus. Traçons K l'orthocentre du triangle ABC. On remarque que l'orthocentre du triangle ABC se trouve à l'extérieur du triangle ABC.
04 · À toi de jouer
7 exercices corrigés
Cherche chaque exercice sur ton cahier avec tes instruments (règle, compas, équerre), puis clique pour vérifier ta démarche.
0 / 7 vérifiés
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Problème concret · médiatrices
Le maire d'un village veut construire une fontaine à égale distance des trois maisons A, B et C. Où doit-il la placer précisément ?
3
Hauteurs et orthocentre
12 questionsH : orthocentre de ABC · D : pied de la hauteur issue de B · E : pied de la hauteur issue de A
1. Dans le triangle ABC :
- Quelle est la hauteur issue de A ?
- Quelle est la hauteur relative à [AC] ?
- Quelle est la hauteur issue de C ?
- Quel est l'orthocentre du triangle ?
2. Dans le triangle BCH :
- Quelle est la hauteur relative à [BC] ?
- Quelle est la hauteur issue de B ?
- Quelle est la hauteur relative à [BH] ?
- Quel est l'orthocentre du triangle ?
3. Dans le triangle ABH :
- Quelle est la hauteur relative à [AB] ?
- Quelle est la hauteur relative à [AH] ?
- Quelle est la hauteur relative à [BH] ?
- Quel est l'orthocentre du triangle ?
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Problème concret · médiatrices
🏝️ Le trésor du triangle des Bermudes
Les célèbres pirates Mat et Matic ont caché leur trésor dans le triangle des Bermudes, à égale distance des îles E, F et G.
Trouver l'emplacement K du trésor.
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Construction · orthocentre et parallélogramme
- Construire un triangle IJK tel que IJ = 6 cm, JK = 4 cm et IK = 8 cm.
- Placer le point L tel que IJKL soit un parallélogramme.
- Dans le triangle IJK, tracer les hauteurs issues de I et de J.
- On appelle M le point d'intersection de ces deux hauteurs. Que peut-on dire du point M ?
- Montrer que (IJ) est perpendiculaire à (KM).
- Quelle est la nature du triangle KLM ? Justifier.
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Démonstration · perpendicularité
- Dans la figure ci-contre, tracer F le point d'intersection des deux droites (CD) et (BE).
- Montrer que (AF) ⊥ (BC).
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Construction · centre de gravité
Rappel utile (hors-cours)
La médiane issue d'un sommet relie ce sommet au milieu du côté opposé. Les trois médianes d'un triangle se coupent en un point unique : le centre de gravité G, situé aux 2/3 de chaque médiane en partant du sommet (et au 1/3 en partant du milieu du côté).
a) Construire un triangle ABC de base AB = 6 cm et dont le centre de gravité G soit tel que : AG = 4 cm et CG = 4 cm.
Justifier la construction. Quelle est la nature du triangle ABC ?
b) Construire, sans justification, un triangle TRI tel que la médiane issue de T mesure 6 cm, celle issue de R mesure 4,8 cm, et RI = 7 cm.
Médiatrice, bissectrice et hauteur d'un triangle · Mathématiques, 1ʳᵉ année collège, semestre 1.