1ʳᵉ Année Collège · Chapitre 11

Inégalité triangulaire et médiatrice d'un segment

Comparer des distances pour savoir si un triangle est constructible, puis découvrir la droite qui reste à égale distance des deux bouts d'un segment.

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01 · Comparer les distances

Inégalité triangulaire

Comparer la longueur d'un côté à la somme des deux autres pour savoir, sans même tracer, si un triangle peut exister.

1. Position d'un point et un segment

a) Si un point n'appartient pas à un segment

Exemple

Soient [AB] un segment et M un point tels que M ∉ [AB].

Comparons les distances AB et MA+MB. On a, d'après la figure : $AB = 5{,}5$ cm et $MA+MB = 6{,}5$ cm.

On remarque que : AB < MA+MB.

Propriété 1

Soient [AB] un segment et M un point.
Si M ∉ [AB], alors AB < MA + MB.

b) Si un point appartient à un segment

Exemple

Soient [AB] un segment et M un point tels que M ∈ [AB].

Comparons les distances AB et MA+MB. On a, d'après la figure : $AB = 6$ cm et $MA+MB = 6$ cm.

On remarque que : AB = MA+MB.

Propriété 2

Soient [AB] un segment et M un point.
Si M ∈ [AB], alors AB = MA + MB.

2. Inégalité triangulaire

Exemple

Soit ABC un triangle. Montrons que :

AB < AC + BC

AC < AB + BC

BC < AB + AC

C ∉ [AB], donc d'après la propriété 1 : AB < AC+BC
B ∉ [AC], donc d'après la propriété 1 : AC < AB+BC
A ∉ [BC], donc d'après la propriété 1 : BC < AB+AC

Propriété 3 · l'inégalité triangulaire

Si ABC est un triangle, alors :

AB < AC + BC

AC < AB + BC

BC < AB + AC

Autrement dit :

Dans un triangle, la longueur de chaque côté est strictement inférieure à la somme des longueurs des deux autres.

Remarque · méthode

Pour vérifier si l'on peut construire un triangle dont on connaît les longueurs des côtés, il suffit de vérifier si le plus grand côté est strictement inférieur à la somme des deux autres.

Applications

Peut-on construire le triangle ABC tel que : $AB=5$ cm, $AC=2{,}5$ cm et $BC=6$ cm ?

On a : BC = 6 cm et AB+AC = 7,5 cm

On remarque que : BC < AB+AC

✓ On peut construire le triangle ABC

Peut-on construire le triangle EFG tel que : $EF=5$ cm, $EG=4$ cm et $FG=11$ cm ?

On a : FG = 11 cm et EF+EG = 9 cm

On remarque que : FG > EF+EG

✗ On ne peut pas construire le triangle EFG

02 · Équidistance

Médiatrice d'un segment

La droite qui partage un segment en deux et qui rassemble tous les points équidistants de ses extrémités.

1. Définition

La médiatrice d'un segment est la droite perpendiculaire à ce segment qui passe par son milieu.

2. Exemple

Soit [AB] un segment. Traçons (Δ) la médiatrice du segment [AB].

3. Propriétés

a) Propriété directe

Exemple

Soient [AB] un segment et (Δ) sa médiatrice. Soit E un point tel que : E∈(Δ) et E∉[AB].

Comparons les distances EA et EB. On remarque que : EA = EB.

On dit que le point E est équidistant aux extrémités du segment [AB].

Propriété

Si un point appartient à la médiatrice d'un segment, alors il est équidistant à ses extrémités.

Autrement dit

Soient [AB] un segment, (D) sa médiatrice et M un point.
Si M ∈ (D), alors MA = MB.

Remarque

On utilise cette propriété pour comparer ou calculer des distances.

Application

Soient [EF] un segment et (D) sa médiatrice. Soit M un point de (D) tel que : ME=4cm. Calculons MF.

On a : M∈(D) et (D) est la médiatrice du segment [EF]. Donc : ME = MF.

Et puisque ME=4cm, alors : MF = 4 cm

b) Propriété réciproque

Exemple

Soient [AB] un segment et (Δ) sa médiatrice. Soit E un point tel que : EA=EB.

On remarque que : E ∈ (Δ).

Propriété

Si un point est équidistant des extrémités d'un segment, alors il appartient à la médiatrice de ce segment.

Autrement dit

Soient [AB] un segment, (D) sa médiatrice et M un point.
Si MA = MB, alors M ∈ (D).

Application

Soit (ζ) un cercle de centre O et de rayon r. Soient A et B deux points distincts du cercle (ζ). Montrons que O appartient à la médiatrice du segment [AB].

On a (ζ) un cercle de centre O et de rayon r.

Et puisque A∈(ζ) et B∈(ζ), alors : OA = r et OB = r

Donc : OA = OB

D'où : O appartient à la médiatrice du segment [AB]

c) Propriété caractéristique

La médiatrice d'un segment, c'est l'ensemble des points équidistants des extrémités de ce segment.

Remarque : la propriété caractéristique contient les deux propriétés directe et réciproque.

03 · À toi de jouer

5 exercices corrigés

Cherche chaque exercice sur ton cahier (règle, compas, équerre et rapporteur), puis clique pour vérifier.

0 / 5 vérifiés

Vocabulaire et inégalité triangulaire

Pour un triangle ABC, A, B et C sont ……… et [AB], [BC] et [AC] sont ……….
Sans faire de dessin, peut-on construire ces trois triangles ? Explique pourquoi.
- ➤ ABC avec AB=7cm, AC=3cm et BC=5cm.
- ➤ DEF avec DE=2cm, EF=6cm et DF=3cm.
- ➤ OIJ avec OJ=4cm, IJ=6cm et OI=10cm.

Constructions à la règle, au compas et à l'équerre

7 triangles

1. Triangle ABC avec AB=6cm, AC=3cm et BC=7cm.

2. Triangle EFG avec EF=4cm, EG=6cm et FG=3cm.

3. Triangle GHI isocèle en I avec GH=7cm et HI=3cm.

4. Triangle ABC équilatéral avec BA=3cm.

5. Triangle MNO rectangle en N avec MN=4cm et NO=3cm.

6. Triangle OPC rectangle en O avec OC=3cm et PC=5cm.

7. Triangle équilatéral de périmètre 15cm.

Angle-côté-côté et perpendiculaire

2 triangles

1. Construis un triangle BAS tel que AB=4cm, AS=5cm et Â=110°.

1-1. Trace la perpendiculaire à (AS) passant par B.

2. Construis un triangle ABC rectangle avec AB=4cm et AC=5cm.

Médiatrice et cercle circonscrit

2 triangles

1. Construis un triangle CAR tel que AC=5cm, AR=4cm et CR=6cm.

1-2. Construis la médiatrice de [AR].

2. Construis un triangle TRI tel que R̂=50°, Î=40° et RI=5cm.

2-1. Construis le cercle circonscrit au triangle TRI.

Hauteurs, médiatrices, bissectrices et cercle circonscrit

2 questions

1. Construire deux triangles ABC et DEF. Tracer les trois hauteurs en rouge et les trois médiatrices en vert.

2. Construire deux triangles ABC et DEF. Tracer les trois bissectrices et le cercle circonscrit dans chaque triangle.

Inégalité triangulaire et médiatrice d'un segment · Mathématiques, 1ʳᵉ année collège, semestre 1.